角（双角平分线）

把一个大角先分成两部分，再在这两部分里各作一条角平分线。看上去多了好几条射线，似乎要逐个角去追；其实，中间的角只和最初的那个大角有关。

这个模型是什么？

$在同一个顶点 O 处，先有一个总角 \angle AOB。取一条射线 OP，再分别作 \angle BOP 与 \angle AOP 的角平分线 OM、ON。两条平分线之间形成的 \angle MON，就是本模型关注的角。$

为什么叫“双角平分线”？

$因为题目中同时出现了两条角平分线：一条把 \angle BOP 平分，另一条把 \angle AOP 平分。它们像从两侧各“切掉一半”，最后在中间留下一个非常稳定的角。$

它有什么用？

$它专门处理“角很多、角平分线也很多”的图形。只要找准两条平分线对应的两个角，便可跳过繁琐的逐角计算，直接把 \angle MON 与总角 \angle AOB 联系起来。$

模型讲解

[知识点] 角（双角平分线）

先认结构

$图中 OM 平分 \angle BOP，ON 平分 \angle AOP。射线 OP 可以在 \angle AOB 内，也可以在 \angle AOB 外；位置变了，结论不变。$

大胆猜想

不论 OP 在角内还是角外，都有：

$\angle MON = \dfrac{1}{2}\angle AOB 也就是说：两条角平分线之间的角，恰好等于原来总角的一半。$

为什么成立？

$\begin{aligned} 当 OP 在 \angle AOB 内时，两条平分线之间的角由两部分相加得到：\\ ∵\angle MON = \angle MOP + \angle PON\\ ∴\angle MON = \dfrac{1}{2}\angle BOP + \dfrac{1}{2}\angle AOP\\ 即\angle MON = \dfrac{1}{2}(\angle BOP + \angle AOP) = \dfrac{1}{2}\angle AOB\\ 当 OP 在 \angle AOB 外时，图形中要用“较大角减较小角”，\\ 但两条角平分线\\仍各自把对应的角除以 2，最后同样得到：\\ \angle MON = \dfrac{1}{2}\angle AOB\\ 一眼识别口诀：角有两份，平分两次；不管射线内外，中间角取总角一半。 \end{aligned}$

$\begin{aligned} \angle MON &= \angle MOP + \angle PON \\ \angle MON &= \dfrac{1}{2}\angle BOP + \dfrac{1}{2}\angle AOP \end{aligned}$

例题示范

$已知 \angle AOB = 90\circ，\angle BOC = 30\circ，OM 平分 \angle AOC，ON 平分 \angle BOC。求 \angle MON 的度数。 观察入口 不要先分别去求 \angle AOM、\angle MOC、\angle BON、\angle NOC。先看两条平分线：OM 对应 \angle AOC，ON 对应 \angle BOC；它们之间夹住的“总角”正是 \angle AOB。$

模型落地

$直接使用双角平分线结论： \angle MON = \dfrac{1}{2}\angle AOB 这里 \angle AOB 的度数已知，因此代入即可完成计算。 提醒：这道题的关键不是射线 OC 在哪里，而是认出两条角平分线最终对应的总角是 \angle AOB。$

牛刀小试

$如图，OM、ON 分别平分 \angle BOC、\angle AOC，且 \angle AOB = 84^\circ。$

$求 \angle MON 的度数。 当射线 OC 在 \angle AOB 内绕点 O 转动时，\angle MON 的大小会不会改变？说明理由。 若把 \angle AOB 改为一个任意大小的角，请用 \angle AOB 表示 \angle MON。$

易错提醒

• $两条角平分线必须分别平分题图中对应的两个角，不能只看到“有两条平分线”就套结论。 判断总角时，要看两条平分线外侧最终围成的是哪一个角；例题中是 \angle AOB，不是 \angle AOC 或 \angle BOC。 OP 或 OC 的位置会变，但只要平分关系不变，模型结论就仍然成立。$