几何变换法

本文介绍几何变换的基本类型和解题应用，帮助初中生掌握通过平移、旋转、轴对称来重新组织图形关系的策略。

一、方法概述

定义：几何变换法是指通过对图形（或图形的一部分）进行平移、旋转、轴对称等变换，改变某些元素的位置而不改变其形状和大小，从而使原本分散或隐蔽的条件集中显现，便于发现关系和证明结论的解题方法。

核心特征：变换不改变图形的形状和大小（保距变换 $/$ 全等变换）。

将图形沿某一方向移动一定距离。

适用场景：

例：在梯形 $ABCD$ 中， $AB$ ∥ $CD$ ，求证梯形的中位线平行于两底且等于两底和的一半。

将腰 $AD$ 平移到 $BE$ 位置，将梯形转化为三角形来证明。

将图形绕某一点旋转一定角度。

适用场景：

例：在正方形 $ABCD$ 中， $E$ 在 $BC$ 上， $F$ 在 $CD$ 上，∠ $EAF = 45^\circ$ 。求证 $EF = BE + DF$ 。

将 △ $ADF$ 绕 $A$ 旋转 $90^\circ$ 到 △ $ABG$ ，

则 $GE = BE + DF$ ，

只需证 $AE$ 是 ∠ $GAF$ 的平分线即可得到 $GE = EF$ 。

将图形沿某条直线翻折。

适用场景：

例（将军饮马）：在直线 $l$ 同侧有两点 $A$ 、 $B$ ，在 $l$ 上找一点 $P$ 使 $PA + PB$ 最小。

作 $A$ 关于 $l$ 的对称点 $A'$ ，连接 $A'B$ 交 $l$ 于 $P$ ，则 $P$ 为所求。