配方法

本文介绍配方法的原理、步骤和典型应用，帮助初中生掌握这一核心代数变形技巧。

一、方法概述

[知识点] 配方法

定义：配方法是指将二次三项式 $ax^2 + bx + c$ 通过添项和拆项，变形为 $a(x + m)^2 + n$ 的形式的代数变形方法。其本质是利用完全平方公式 $(x + p)^2 = x^2 + 2px + p^2$ 进行逆向构造。

核心公式：

二、配方法的步骤

[知识点] 配方的标准步骤

对于 $ax^2 + bx + c$（$a \ne 0$）：

1. 提取二次项系数（若 $a \ne 1$）：提出 $a$，使括号内二次项系数为 1

2. 配一次项系数一半的平方：在括号内加上并减去 $(\dfrac{b}{2a})^2$

3. 写成完全平方形式：前三项合并为完全平方，常数项移出

4. 化简：整理常数项

例：$2x^2 + 8x + 5$

$\begin{aligned} 原式 &= 2(x^2 + 4x) + 5\\ &= 2[x^2 + 4x + 4 - 4] + 5\\ &= 2[(x + 2)^2 - 4] + 5\\ &= 2(x + 2)^2 - 8 + 5\\ &= 2(x + 2)^2 - 3 \end{aligned}$

三、典型应用

[知识点] 解一元二次方程

对于 $ax^2 + bx + c = 0$，配方后开平方求解。

例：$x^2 - 6x + 5 = 0$

$\begin{aligned} x^2 - 6x + 9 &= 4\\ (x - 3)^2 &= 4\\ x - 3 &= \pm2\\ x=5或x=1 \end{aligned}$

[知识点] 求二次函数的最值

$y = ax^2 + bx + c$ 配方为

$y = a(x + \dfrac{b}{2a})^2 + \dfrac{4ac - b^2}{4a}$，

从而得到顶点坐标和对称轴。

例：$y = x^2 - 4x + 7$，配方得

$y = (x - 2)^2 + 3$，

顶点 (2, 3)，最小值 3。

[知识点] 判断二次三项式的符号

配方后写成 $a(x + m)^2 + n$，由平方项非负可判断正负。

例：证明 $x^2 + 2x + 3 > 0$ 恒成立。

。

[知识点] 求代数式的最值

例：求 $x^2 + y^2 - 2x + 4y + 7$ 的最小值。

$\begin{aligned} 原式&= (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 2\\ &= (x - 1)^2 + (y + 2)^2 + 2 \ge 2\\ 最小&值为 2（当x=1,y=-2时）。 \end{aligned}$

最小值为 2（当 $x = 1, y = -2$ 时）。

四、注意事项

• 配方时最容易出错的是「加一半平方、减一半平方」的符号——加和减必须同时出现；

• $a \ne 1$ 时务必先提 $a$，否则配出的一次项系数不对；

• 配方得到的常数项要仔细计算，建议分步检查；

• 配方法是一元二次方程求根公式的推导基础，理解配方法才能真正理解求根公式；

• 配方不仅用于二次，在圆的方程标准化、椭圆方程标准化等场景也要用到。