反证法

本文介绍反证法的逻辑原理和典型应用，帮助初中生掌握「否定结论推出矛盾」的间接证明方法。

一、方法概述

定义：反证法（又称归谬法）是指先假设命题的结论不成立（即假设结论的反面成立），然后从这个假设出发，经过正确的逻辑推理，得出一个与已知条件、公理、定理或已证结论相矛盾的结果，从而说明假设错误，原命题成立的间接证明方法。

逻辑基础：排中律——一个命题要么真要么假，没有第三种可能。

反证法特别适合以下场景：

例：求证 $\sqrt{2}$ 不是有理数。

假设 $\sqrt{2}$ 是有理数，则 $\sqrt{2} = \dfrac{p}{q}$ （ $p$ 、 $q$ 互质）。

$2 = \dfrac{p^2}{q^2}$ → $p^2 = 2q^2$ → $p2$ 是偶数 → $p$ 是偶数。

设 $p = 2k$ ，则 $(2k)^2 = 2q^2$ → $4k^2 = 2q^2$ → $q^2 = 2k^2$ → $q^2$ 是偶数 → $q$ 是偶数。

$p$ 、 $q$ 均为偶数，与 $p$ 、 $q$ 互质矛盾。

故 $\sqrt{2}$ 不是有理数。

例：已知直线 $a$ ∥ $c$ ， $b$ ∥ $c$ ，求证 $a$ ∥ $b$ 。

假设 $a$ 不平行于 $b$ ，则 $a$ 与 $b$ 相交于一点 $P$ 。

过 $P$ 点有两条直线 $a$ 和 $b$ 都与 $c$ 平行，

这与「过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行」的公理矛盾。

故 $a$ ∥ $b$ 。

例：求证过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

假设有两条不同的直线都过该点且都与已知直线垂直，则它们之间的夹角为 $0^\circ$ （因为都与同一直线垂直），矛盾。

故只有一条。