因数与倍数

[!note] 本章围绕“数的认识”中的因数、倍数展开，包括因数与倍数的定义、个数特征、2/3/5 的倍数特征、奇偶数、质数与合数，以及最大公因数与最小公倍数。

一、基本概念

[知识点] 因数与倍数的定义

若 a ÷ b = c（a、b、c 均为正整数，且整除），那么 a 就是 b 和 c 的倍数，b 和 c 就是 a 的因数。
- 例：12 ÷ 3 = 4，则 12 是 3 和 4 的倍数，3 和 4 是 12 的因数。
在研究因数和倍数时，一般不包括 0。
因数和倍数是相互依存的，不能单独说某数是因数或倍数，必须说“谁是谁的因数/倍数”。

[知识点] 因数与倍数的个数特征

一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是 1，最大的因数是它本身。
一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。
一个数既是它本身的最大因数，也是它本身的最小倍数（如 6 的最大因数是 6，最小倍数也是 6）。

[知识点] 2、5、3 的倍数特征

2 的倍数的特征：个位上是 0、2、4、6、8 的数（即偶数）。
5 的倍数的特征：个位上是 0 或 5 的数。
3 的倍数的特征：各个数位上数字的和是 3 的倍数（与个位数字无关）。
推论：
- 同时是 2 和 5 的倍数：个位是 0。
- 同时是 2、3、5 的倍数：个位是 0，且各位数字之和是 3 的倍数。

[知识点] 奇数和偶数

偶数：是 2 的倍数的数（个位 0、2、4、6、8）；0 也是偶数。
奇数：不是 2 的倍数的数（个位 1、3、5、7、9）。
关系：自然数按能否被 2 整除分为奇数和偶数两类；相邻两个自然数必为一奇一偶。

[知识点] 质数和合数

质数（素数）：只有 1 和它本身两个因数的数（如 2、3、5、7、11……）。最小的质数是 2，2 是唯一的偶数质数。
合数：除了 1 和它本身外，还有其它因数的数（如 4、6、8、9……）。最小的合数是 4。
1：既不是质数，也不是合数（1 只有一个因数）。

[!tip] 补充：大于 1 的自然数按因数个数可分为三类——1、质数、合数（0 通常不在讨论范围内）。

二、最大公因数与最小公倍数

[知识点] 最大公因数

定义：几个数公有的因数中最大的那个，叫做它们的最大公因数。
求法：可先分别列出各数的因数，再找公有因数中最大的；也可用短除法求（把几个数公有的质因数依次相除，直到商互质，所有除数相乘即得最大公因数）。

[知识点] 最小公倍数

定义：几个数公有的倍数中最小的那个，叫做它们的最小公倍数。
求法：可先列出倍数再找；也常用短除法：把几个数公有的质因数和各自独有的质因数依次相除，直到商互质，所有除数与最后的商相乘即得最小公倍数。
- 例：求 12 和 18 的最小公倍数——12 = 2×2×3，18 = 2×3×3，最小公倍数 = 2×2×3×3= 36。