.webp)
典型应用题
一、和差倍问题
[知识点] 和差倍问题
和差问题：已知条件：几个数的和与差。 公式：小数 + 差 = 大数；(和 - 差) ÷ 2 = 小数；(和 + 差) ÷ 2 = 大数。
和倍问题：已知条件：几个数的和与倍数。 公式：和 ÷ (倍数 + 1) = 小数；小数 × 倍数 = 大数。
差倍问题：已知条件：几个数的差与倍数。 公式：差 ÷ (倍数 - 1) = 小数；小数 × 倍数 = 大数。
二、行程与工程
[知识点] 行程问题
相遇问题：相遇时间 = 总路程 ÷ (甲速 + 乙速)；总路程 = (甲速 + 乙速) × 相遇时间。
追及问题：追及时间 = 追及路程 ÷ (快速 - 慢速)；追及路程 = (快速 - 慢速) × 追及时间。
行船问题：顺水速度 = 船速 + 水速；逆水速度 = 船速 - 水速；水速 = (顺水速度 - 逆水速度) ÷ 2。
列车问题：火车过桥时间 = (车长 + 桥长) ÷ 车速；火车追及（超车）时间 = (甲车长 + 乙车长 + 距离) ÷ (甲车速 - 乙车速)；火车相遇（错车）时间 = (甲车长 + 乙车长 + 距离) ÷ (甲车速 + 乙车速)。
时钟问题：分针的速度是时针的 12 倍；二者的速度差为 $\dfrac{11}{12}$。
[知识点] 工程问题
基本公式：工作总量 = 工作效率 × 工作时间；工作效率 = 工作总量 ÷ 工作时间；工作时间 = 工作总量 ÷ 工作效率。
基本思路：假设工作总量为"1"（和总工作量无关）。
三、浓度与利润
[知识点] 浓度问题
基本概念：溶液（溶质和溶剂混合而成的液体）；溶质（溶解在溶剂中的物质）；溶剂（能够溶解其他物质的液体）。
基本公式：溶液质量 = 溶质质量 + 溶剂质量；溶质质量 = 溶液质量 × 浓度；浓度 = 溶质质量 ÷ 溶液质量 × 100%。
[知识点] 利润、利率问题
利润问题：利润 = 售价 - 进价；利润率 = (售价 - 进价) ÷ 进价 × 100%；售价 = 进价 × (1 + 利润率)；亏损 = 进价 - 售价；亏损率 = (进价 - 售价) ÷ 进价 × 100%。
利率问题：利息 = 本金 × 存款年（月）数 × 年（月）利率；本利和 = 本金 + 利息 = 本金 × [1 + 年（月）利率 × 存款年（月）数]。
折扣和成数：几折或几成就是几分之几（百分之几十）。
四、还原、包含与排除与最优化
[知识点] 还原问题
定义：已知某未知数经过一定的四则运算后所得的结果，求这个未知数的应用题。
解题方法：从最后的结果出发，采用与原题中相反的运算（逆运算）的方法，逐步推导出原数。
[知识点] 包含与排除
总数 = 两个圆内的 - 重合部分的；
M = A + B - AB；
如果被计数的事物有 A、B 两类，那么先把 A、B 两个集合的元素个数相加，发现既是 A 类又是 B 类的部分重复计算了一次，所以要减去。
总数 = 三个圆内的 - 重合两次的 + 重合三次的；
M = A + B + C -（AB + BC + AC）+ ABC；
如果被计数的事物有 A、B、C 三类，那么将 A、B、C 三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了 1 次，三个集合公共部分被重复计算了 2 次。
[知识点] 最优化问题
合理分配问题：通过合理安排后，使得使用的时间或所付出的代价最少。
物资调运问题：通过合理安排和调整，制定最优方案，使得总费用最少。
五、鸡兔同笼、植树与盈亏
[知识点] 鸡兔同笼问题
基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的部分置换出来。
基本思路：假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）；假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少；每个事物造成的差是固定的，从而找出这个差的原因；再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。
基本公式：
假设所有动物都是鸡：鸡数 = (总头数 × 4 - 总脚数) ÷ (4 - 2)；兔数 = 总头数 - 鸡数。
假设所有动物都是兔：兔数 = (总头数 × 2 - 总脚数) ÷ (4 - 2)；鸡数 = 总头数 - 兔数。
[知识点] 年龄问题
基本特征：两个人的年龄差是不变的；两个人的年龄是同时增加或者同时减少的；两个人的年龄的倍数是发生变化的。
解题方法：年龄问题与和差、和倍、差倍问题类似，主要特点是随着时间的变化，年龄不断增长，但大小两个不同年龄的差是不会改变的，因此，年龄问题是一种"差不变"的问题，解题时，要善于利用差不变的特点。
[知识点] 植树问题
基本概念：以"植树"为内容，研究总路程、株距、段数、棵数四种数量关系的问题。
基本公式：棵距 × 段数 = 总长。
类型：
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都植树：棵数 = 段数 + 1；
在直线或者不封闭的曲线上植树，两端都不植树：棵数 = 段数 - 1；
在直线或者不封闭的曲线上植树，只有一端植树：棵数 = 段数；
在封闭曲线上植树：棵数 = 段数。
解题方法：解答植树问题首先要判断图形，分清是否是封闭图形，从而确定是沿线段植树还是沿周长植树，然后按基本公式进行计算。
[知识点] 盈亏问题
基本概念：一定的对象，按照某种标准分组，产生一种结果；按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量。
基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量。
基本题型：
一次有余数，另一次不足：总份数 = (余数 + 不足数) ÷ 两次每份数的差；
当两次都有余数：总份数 = (较大余数 - 较小余数) ÷ 两次每份数的差；
当两次都不足：总份数 = (较大不足数 - 较小不足数) ÷ 两次每份数的差。
[!tip] 棵数 = 段数。