数与式公式定理

本文整理初中数学「数与式」板块的常用公式与定理，涵盖实数、整式运算、乘法公式、因式分解、分式与二次根式，供速查使用。

一、实数

（一）基本概念

[知识点] 相反数

1、$a$ 的相反数是 $-a$；

2、互为相反数的两个数和为 0，且到原点的距离相等；

3、0 的相反数是 0。

[知识点] 绝对值

1、数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$；

2、$|a| \ge 0$；

3、$a > 0$ 时，$|a| = a$；

$a = 0$ 时，$|a| = 0$；

$a < 0$ 时，$|a| = -a$。

[知识点] 倒数

1、$a \ne 0$ 时，$a$ 的倒数是 $\dfrac{1}{a}$；

2、互为倒数的两个数乘积为 1；

3、0 没有倒数；$\pm 1$ 的倒数是它本身。

（二）运算律

[知识点] 加法运算律

1、交换律：$a + b = b + a$；

2、结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$。

[知识点] 乘法运算律

1、交换律：$ab = ba$；

2、结合律：$(ab)c = a(bc)$；

3、分配律：$a(b + c) = ab + ac$。

（三）乘方与开方

[知识点] 乘方的符号法则

1、正数的任何次幂都是正数；

2、负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；

3、$0^n = 0$（$n$ 为正整数）；

4、$a^0 = 1$（$a \ne 0$）。

[知识点] 平方根

1、若 $x^2 = a$（$a \ge 0$），则 $x$ 叫做 $a$ 的平方根，记作 $\pm\sqrt{a}$；

2、正数有两个平方根（互为相反数），0 的平方根是 0，负数没有平方根；

3、算术平方根：非负数 $a$ 的非负平方根，记作 $\sqrt{a}$，且 $\sqrt{a} \ge 0$，$\sqrt{0} = 0$。

[知识点] 立方根

1、若 $x^3 = a$，则 $x$ 叫做 $a$ 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$；

2、正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根是 0。

二、整式

（一）幂的运算

[知识点] 同底数幂的乘法

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\ (m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 同底数幂的除法

$a^m \div a^n = a^{m-n}\ (a \ne 0,\ m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 幂的乘方

$(a^m)^n = a^{mn}\ (m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 积的乘方

$(ab)^n = a^n b^n\ (n \text{ 为正整数})$

[知识点] 零指数幂与负整数指数幂

1、$a^0 = 1\ (a \ne 0)$；

2、$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\ (a \ne 0,\ n \text{ 为正整数})$。

（二）整式运算

[知识点] 单项式乘多项式

用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

[知识点] 多项式乘多项式

用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

[知识点] 单项式除以单项式

系数相除，同底数幂相除，被除式中单独有的字母连同指数作为商的一个因式。

[知识点] 多项式除以单项式

多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

（三）乘法公式

[知识点] 平方差公式

[知识点] 完全平方公式

（四）因式分解

[知识点] 提公因式法

把多项式写成"公因式 ×（另一个因式）"的形式。

[知识点] 公式法分解因式

1、平方差：$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$；

2、完全平方：$a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$。

[知识点] 十字相乘法

竖分（左边相乘为二次项、右边相乘为常数项）→ 检验（交叉相乘相加等于一次项）→ 横写（写成两个一次因式的积）。

三、分式

[知识点] 分式有意义的条件

1、分式 $\dfrac{A}{B}$ 有意义的条件：分母 $B \ne 0$；

2、分式值为 0 的条件：分子为 0 且分母不为 0。

[知识点] 分式的基本性质

分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。

[知识点] 分式的运算

1、同分母分式相加减：分母不变，分子相加减；

2、异分母分式相加减：先通分，再加减；

3、分式乘法：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母；

4、分式除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；

5、分式乘方：$\left(\dfrac{b}{a}\right)^n = \dfrac{b^n}{a^n}\ (a \ne 0,\ n \text{ 为正整数})$。

四、二次根式

[知识点] 二次根式的性质

1、$\sqrt{a} \ge 0\ (a \ge 0)$；

2、$(\sqrt{a})^2 = a\ (a \ge 0)$；

3、$\sqrt{a^2} = |a|$；

4、$\sqrt{ab} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)$。

[知识点] 二次根式的运算

1、乘法：$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)$；

2、除法：$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a \ge 0,\ b > 0)$；

3、加减：先化为最简二次根式，再把被开方数相同的同类二次根式合并。

[知识点] 二次根式的常用公式

1、平方差：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a - b$；

2、完全平方：$(\sqrt{a} \pm \sqrt{b})^2 = a + b \pm 2\sqrt{ab}$。

[!note] 最简二次根式：被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式。