统计与概率公式

本文整理初中数学「统计与概率」板块的核心概念与公式，涵盖平均数、众数、中位数、方差、频数与频率、统计图，以及概率的计算，供速查使用。

一、数据的分析

（一）平均数

[知识点] 算术平均数

$n$ 个数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的算术平均数为：

[知识点] 加权平均数（一般形式）

数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的权分别为 $w_1, w_2, \cdots, w_n$ 时：

[知识点] 加权平均数（频数形式）

数据 $x_1, x_2, \cdots, x_k$ 出现的频数分别为 $f_1, f_2, \cdots, f_k$，且 $f_1 + f_2 + \cdots + f_k = n$ 时：

[!tip] 各数据的权相同时，加权平均数就是算术平均数。

（二）中位数与众数

[知识点] 中位数

将数据按大小顺序排列：

1、数据个数为奇数：中位数是中间位置的那个数；

2、数据个数为偶数：中位数是中间两个数的平均数。

[知识点] 众数

一组数据中出现次数最多的数据。众数可能不止一个，也可能没有。

（三）方差

[知识点] 方差

方差反映数据的波动大小：

方差越大，数据波动越大；方差越小，数据波动越小。

二、数据的整理与描述

（一）频数与频率

[知识点] 频率与频数的关系

1、频率 $= \dfrac{频数}{数据总数}$；

2、频数之和 = 数据总数；

3、各组频率之和 $= 1$；

4、$数据总数 \times 频率 = 频数$。

（二）直方图

[知识点] 直方图的要素

1、最值差 = 最大值 - 最小值；

2、组数 $= \dfrac{最值差}{组距}$；

3、频数：各小组中数据的个数。

（三）扇形统计图

[知识点] 扇形圆心角

$圆心角度数 = 百分比 \times 360^\circ$

三、概率

（一）事件

[知识点] 事件的分类

1、必然事件：一定会发生的事件；

2、不可能事件：一定不会发生的事件；

3、随机事件：可能发生也可能不发生的事件。

（二）概率的计算

[知识点] 概率的取值范围

1、必然事件：$P(A) = 1$；

2、不可能事件：$P(A) = 0$；

3、随机事件：$0 < P(A) < 1$。

[知识点] 古典概型概率公式

试验共有 $n$ 种等可能结果，事件 $A$ 包含 $m$ 种结果时：

[知识点] 频率与概率的关系

多次重复试验中，事件发生的频率稳定在某个常数附近，该常数可作为概率的估计值。

[知识点] 求概率的方法

1、直接列举法（结果数较少时）；

2、列表法（两次操作）；

3、树状图法（操作次数较多，通常 $\ge 3$ 次）。