数的运算公式定理

本文整理小学数学「数的运算」板块的公式与规律，涵盖四则运算的意义、各部分关系、运算顺序、运算定律、计算方法、变化规律与估算方法，供速查使用。

一、四则运算的意义

[知识点] 加法的意义

把两个数合成一个数的运算。

[知识点] 减法的意义

已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算。

[知识点] 乘法的意义

求几个相同加数的和的简便运算。

[知识点] 除法的意义

已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。

二、四则运算各部分的关系

[知识点] 加法各部分关系

1、加数 + 加数 = 和；

2、加数 = 和 − 另一个加数。

[知识点] 减法各部分关系

1、被减数 − 减数 = 差；

2、被减数 = 减数 + 差；

3、减数 = 被减数 − 差。

[知识点] 乘法各部分关系

1、因数 × 因数 = 积；

2、因数 = 积 ÷ 另一个因数。

[知识点] 除法各部分关系

1、被除数 ÷ 除数 = 商；

2、被除数 = 除数 × 商；

3、除数 = 被除数 ÷ 商。

三、运算顺序

[知识点] 四则运算顺序

1、同级运算：从左到右依次计算；

2、两级运算：先算乘除，后算加减；

3、有括号：先算小括号里面的，再算中括号里面的。

四、运算定律与性质

[知识点] 运算定律

1、加法交换律：$a + b = b + a$；

2、加法结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$；

3、乘法交换律：$a \times b = b \times a$；

4、乘法结合律：$(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$；

5、乘法分配律：$(a \pm b) \times c = a \times c \pm b \times c$。

[知识点] 运算性质

1、减法性质：$a-(b+c)=a-b-c=a-c-b$；

2、除法性质：$a \div (b \times c) = a \div b \div c=a÷c÷b$。

五、计算方法

（一）整数

[知识点] 整数加减法

相同数位对齐，从低位算起；加法满十进 1，减法不够减退 1 当 10。

[知识点] 整数乘除法

1、乘法：从低位到高位依次相乘，用哪一位去乘，积的末位与那一位对齐；

2、除法：从高位除起，除到哪一位商写在哪一位上，不够商 1 写 0 占位，余数必须比除数小。

（二）小数

[知识点] 小数加减法

先把小数点对齐（相同数位对齐），再按整数加减法计算，最后点上小数点。

[知识点] 小数乘法

先按整数乘法算出积，再看因数中共有几位小数，从积的右边起数出几位点上小数点。

[知识点] 小数除法

1、除数是整数：按整数除法计算，商的小数点与被除数的小数点对齐；

2、除数是小数：把除数化成整数，被除数扩大相同倍数，再按除数是整数的方法计算。

（三）分数

[知识点] 分数加减法

1、同分母：分母不变，分子相加减；

2、异分母：先通分，再按同分母分数加减法计算。

[知识点] 分数乘法

1、分数乘整数：分子与整数相乘的积作分子，分母不变；

2、分数乘分数：分子相乘作分子，分母相乘作分母。

[知识点] 分数除法

除以一个数（0 除外），等于乘这个数的倒数。

六、特殊运算

[知识点] 有关 0 的运算

[知识点] 有关 1 的运算

七、变化规律

[知识点] 积的变化规律

1、一个因数扩大（或缩小）$a$ 倍，另一个因数不变，积也扩大（或缩小）$a$ 倍；

2、一个因数扩大 $a$ 倍、另一个扩大 $b$ 倍，积扩大 $a \times b$ 倍；

3、一个因数扩大 $a$ 倍、另一个缩小 $a$ 倍，积不变。

[知识点] 商的变化规律

1、被除数不变，除数扩大（缩小）几倍，商缩小（扩大）同样的倍数；

2、除数不变，被除数扩大（缩小）几倍，商扩大（缩小）同样的倍数；

3、被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。

八、估算方法

[知识点] 四舍五入法

看保留位数的下一位：满 5 进 1，不满 5 舍去。

[知识点] 进一法

不论尾数多少，一律向前一位进 1（用于"至少需要几个容器"等问题）。

[知识点] 去尾法

不论尾数多少，一律舍去（用于"最多能做几个"等问题）。