圆公式定理

本文整理初中数学「圆」板块的公式与定理，涵盖圆的基本概念、垂径定理、圆心角与圆周角、位置关系、切线、外心与内心，以及弧长、扇形、正多边形和圆柱圆锥的计算公式，供速查使用。

一、圆的基本概念

[知识点] 圆中的基本元素

1、弦：连接圆上任意两点的线段；直径是经过圆心的弦，是圆中最长的弦；

2、弧：圆上任意两点间的部分，大于半圆的叫优弧，小于半圆的叫劣弧；

3、等圆：半径相等的圆；等弧：同圆或等圆中能够互相重合的弧；

4、圆心角：顶点在圆心的角；

5、圆周角：顶点在圆上且两边都与圆相交的角。

二、圆的性质

[知识点] 圆的对称性

1、圆是中心对称图形，对称中心是圆心；

2、圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

[知识点] 垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

[知识点] 垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

[知识点] 圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；若一组量相等，则其余各组量都分别相等。

[知识点] 圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

[知识点] 圆周角定理的推论

1、半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

2、$90^\circ$ 的圆周角所对的弦是直径。

[知识点] 圆内接四边形的性质

1、对角互补；

2、任何一个外角都等于它的内对角。

三、与圆有关的位置关系

[知识点] 点与圆的位置关系

设圆的半径为 $r$，点到圆心的距离为 $d$：

1、点在圆外：$d > r$；

2、点在圆上：$d = r$；

3、点在圆内：$d < r$。

[知识点] 直线与圆的位置关系

设圆的半径为 $r$，圆心到直线的距离为 $d$：

1、相离：$d > r$（无公共点）；

2、相切：$d = r$（一个公共点）；

3、相交：$d < r$（两个公共点）。

四、圆的切线

[知识点] 切线的性质

1、圆的切线垂直于过切点的半径；

2、圆心到切线的距离等于半径。

[知识点] 切线的判定

1、经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；

2、到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。

[知识点] 切线长定理

从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

五、三角形与圆

[知识点] 确定圆的条件

过两点可以作无数个圆；不在同一直线上的三点确定一个圆。

[知识点] 外接圆与外心

经过三角形各顶点的圆叫做外接圆，圆心叫外心；外心是三角形三边垂直平分线的交点，到各顶点距离相等。

[知识点] 内切圆与内心

与三角形各边都相切的圆叫做内切圆，圆心叫内心；内心是三角形三条角平分线的交点，到各边距离相等。

六、与圆有关的计算

[知识点] 弧长公式

半径为 $R$、圆心角为 $n$° 的弧长：

[知识点] 扇形面积公式

半径为 $R$、圆心角为 $n$° 的扇形面积：

$S = \dfrac{n\pi R^2}{360} = \dfrac{1}{2}lR$（$l$ 为扇形弧长）

[知识点] 正多边形的有关计算

半径为 $R$ 的圆的内接正 $n$ 边形（边长 $a_n$，边心距 $r$，周长 $l$，面积 $S$）：

1、中心角：$\dfrac{360^\circ}{n}$；

2、边心距：$r = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{a_n}{2}\right)^2}$；

3、周长：$l = n a_n$；

4、面积：$S = \dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}n a_n r$。

[知识点] 圆柱的侧面积与全面积

设底面半径为 $r$，高（母线）为 $l$：

1、侧面积：$S = 2\pi r l$；

2、全面积：$S = 2\pi r l + 2\pi r^2$。

[知识点] 圆锥的侧面积与全面积

设底面半径为 $r$，母线长为 $l$：

1、侧面积：$S = \pi r l$；

2、全面积：$S = \pi r l + \pi r^2$。