方程与不等式公式定理

本文整理初中数学「方程与不等式」板块的核心公式与定理，涵盖方程（组）性质、各类方程解法、判别式、韦达定理、不等式性质以及方程应用题的常用关系式，供速查使用。

一、等式与方程

（一）等式的性质

[知识点] 等式性质 1

等式两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，等式仍然成立。

若 $a = b$，则 $a \pm c = b \pm c$。

[知识点] 等式性质 2

等式两边同时乘同一个数，或同时除以同一个不为 0 的数，等式仍然成立。

1、若 $a = b$，则 $ac = bc$；

2、若 $a = b$ 且 $c \ne 0$，则 $\dfrac{a}{c} = \dfrac{b}{c}$。

（二）一元一次方程

[知识点] 一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的次数都是 1 的整式方程。

一般形式：$ax + b = 0$（$a \ne 0$）。

[知识点] 解一元一次方程的一般步骤

1、去分母（两边同乘分母的最小公倍数）；

2、去括号；

3、移项（移项要变号）；

4、合并同类项；

5、系数化为 1，得到 $x = a$。

（三）二元一次方程组

[知识点] 代入消元法

把一个方程变形，用一个未知数表示另一个未知数，代入另一个方程消元求解。

[知识点] 加减消元法

把同一未知数的系数化为绝对值相等的数，再通过相加（系数相反）或相减（系数相同）消去一个未知数求解。

二、一元二次方程

[知识点] 一元二次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程。

一般形式：$ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）。

[知识点] 求根公式

$ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$，$b2 - 4ac \ge 0$）的根为：

[知识点] 根的判别式

1、$\Delta > 0$：方程有两个不相等的实数根；

2、$\Delta = 0$：方程有两个相等的实数根；

3、$\Delta < 0$：方程没有实数根。

[知识点] 韦达定理（根与系数的关系）

若 $ax^2 + bx + c = 0$（$a \ne 0$）的两根为 $x_1$、$x_2$，则：

[知识点] 因式分解法解一元二次方程

把方程化为一边为 0、另一边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为 0 求解。

若化为 $(x+a)(x+b) = 0$，则 $x_1 = -a$，$x_2 = -b$。

[!note] 配方法：把方程化为 $(x+n)^2 = p$ 的形式，$p > 0$ 有两不等实根，$p = 0$ 有两相等实根，$p < 0$ 无实根。

三、分式方程

[知识点] 分式方程的解法

1、去分母：两边同乘最简公分母，化为整式方程；

2、解整式方程；

3、检验：把解代入最简公分母，不为 0 是原方程的解；为 0 是增根，原方程无解。

[!warning] 解分式方程必须检验——去分母可能产生使分母为 0 的增根。

四、不等式

（一）不等式的性质

[知识点] 不等式性质 1

不等式两边同时加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变。

若 $a > b$，则 $a \pm c > b \pm c$。

[知识点] 不等式性质 2

1、两边同乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变：$a > b$ 且 $c > 0$ 时，$ac > bc$；

2、两边同乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变：$a > b$ 且 $c < 0$ 时，$ac < bc$。

（二）不等式组的解集

[知识点] 一元一次不等式组的解集口诀

1、同大取大：两个解集都大于某数，取较大者；

2、同小取小：两个解集都小于某数，取较小者；

3、大小小大中间找：大于小数、小于大数，取两数之间；

4、大大小小无处找：大于大数、小于小数，无解。

五、方程应用题的常用关系式

[知识点] 商品销售问题

1、$标价 = 进价 \times (1 + 利润率)$；

2、$实际售价 = 标价 \times 折扣$；

3、$利润 = 售价 - 进价 = 成本 \times 利润率$。

[知识点] 工程问题

$工作效率 \times 工作时间 = 工作总量；工作总量未给定时，常看作 1$。

[知识点] 行程问题

1、$路程 = 速度 \times 时间$；

2、顺水速度 = 静水速度 + 水流速度；

3、逆水速度 = 静水速度 - 水流速度。

[知识点] 增长率与降低率

1、增长：$a(1 + x)^2 = b$（$a$ 为增长前量，$x$ 为增长率，$b$ 为增长后量）；

2、降低：$a(1 - x)^2 = b$（$x$ 为降低率）。

[知识点] 单循环比赛与握手问题

$n$ 个人单循环比赛或两两握手一次，总场次为 $\dfrac{n(n-1)}{2}$。