函数公式定理

本文整理初中数学「函数」板块的核心概念、图象性质与公式，涵盖平面直角坐标系、函数基础、一次函数、反比例函数、二次函数以及待定系数法，供速查使用。

一、平面直角坐标系

[知识点] 各象限内点的坐标特征

1、第一象限：(+，+)；第二象限：(-，+)；

2、第三象限：(-，-)；第四象限：(+，-)。

[!note] 坐标轴上的点不属于任何象限。

[知识点] 坐标轴上点的坐标特征

1、$x$ 轴上的点：$(x$，$0)$；

2、$y$ 轴上的点：$(0$，$y)$；

3、原点：$(0$，$0)$。

[知识点] 点到坐标轴的距离

1、到 $x$ 轴的距离 = 纵坐标的绝对值 $|y|$；

2、到 $y$ 轴的距离 = 横坐标的绝对值 $|x|$。

二、函数基础

[知识点] 函数的定义

在一个变化过程中，对于 $x$ 的每一个确定的值，$y$ 都有唯一确定的值与其对应，则 $y$ 是 $x$ 的函数，$x$ 是自变量。

[知识点] 函数的表示方法

1、列表法；

2、图象法；

3、解析式法。

[知识点] 自变量取值范围

1、整式型：取一切实数；

2、分式型：分母不为 0；

3、偶次根式型：被开方数 $\ge 0$；

4、零次幂与负整数指数幂型：底数不为 0。

三、一次函数

[知识点] 正比例函数

形如 $y = kx$（$k \ne 0$）的函数，图象是经过原点的直线。

[知识点] 一次函数

形如 $y = kx + b$（$k \ne 0$）的函数，图象是一条直线。

[!note] $b = 0$ 时即正比例函数，正比例函数是一次函数的特殊情形。

[知识点] 一次函数的增减性

1、$k > 0$：$y$ 随 $x$ 的增大而增大；

2、$k < 0$：$y$ 随 $x$ 的增大而减小。

[知识点] 一次函数图象的位置

1、正比例函数 $y = kx$：$k > 0$ 过第一、三象限；$k < 0$ 过第二、四象限；

2、与 $y$ 轴交点：$b > 0$ 交于正半轴，$b < 0$ 交于负半轴，$b = 0$ 过原点。

[知识点] 一次函数图象的平移

$y = kx$ 向上（下）平移 |$b$| 个单位得 $y = kx + b$（$b > 0$ 向上，$b < 0$ 向下）。

[知识点] 一次函数与方程、不等式的关系

1、方程 $kx + b = 0$ 的解 = 直线与 $x$ 轴交点的横坐标；

2、二元一次方程组的解 = 两个一次函数图象交点的坐标；

3、不等式 $kx + b > 0$（$< 0$）的解集 = 图象在 $x$ 轴上方（下方）时 $x$ 的取值范围。

四、反比例函数

[知识点] 反比例函数的表示形式

1、$y = \dfrac{k}{x}$（$k \ne 0$）；

2、$xy = k$（$k \ne 0$）；

3、$y = kx^{-1}$（$k \ne 0$）。

[知识点] 反比例函数的图象

图象是双曲线，两分支关于原点中心对称，与坐标轴不相交。

[知识点] 反比例函数的图象位置与增减性

1、$k > 0$：图象在第一、三象限，每一个象限内 $y$ 随 $x$ 增大而减小；

2、$k < 0$：图象在第二、四象限，每一个象限内 $y$ 随 $x$ 增大而增大。

[!warning] 反比例函数的增减性必须强调"在每一个象限内"，不能笼统地说"y 随 x 增大而减小"。

[知识点] 比例系数 k 的几何意义

过双曲线上任意一点作 $x$ 轴、$y$ 轴的垂线：

1、所得矩形面积 $= |k|$；

2、所得三角形面积 $= \dfrac{|k|}{2}$。

五、二次函数

（一）三种表示形式

[知识点] 二次函数的一般式

$y = ax^2 + bx + c$（$a \ne 0$），图象是抛物线。

[知识点] 二次函数的顶点式

$y = a(x - h)^2 + k$（$a \ne 0$），顶点为 $(h$，$k)$。

[知识点] 二次函数的交点式

$y = a(x - x_1)(x - x_2)$（$a \ne 0$），$x_1$、$x_2$ 是抛物线与 $x$ 轴交点的横坐标。

[!warning] 交点式仅当抛物线与 x 轴有交点时适用。

（二）图象性质

[知识点] 开口方向与大小

1、$a > 0$：开口向上，函数有最小值；$a < 0$：开口向下，函数有最大值；

2、$|a|$ 越大，开口越小。

[知识点] 对称轴与顶点

1、一般式 $y = ax^2 + bx + c$：对称轴 $x = -\dfrac{b}{2a}$，顶点 $\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$；

2、顶点式 $y = a(x - h)^2 + k$：对称轴 $x = h$，顶点 $(h$，$k)$。

[知识点] 二次函数的增减性

1、$a > 0$：对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小，右侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大；

2、$a < 0$：对称轴左侧 $y$ 随 $x$ 增大而增大，右侧 $y$ 随 $x$ 增大而减小。

[知识点] 二次函数与 y 轴的交点

1、$c = 0$：过原点；

2、$c > 0$：与 $y$ 轴正半轴相交；

3、$c < 0$：与 $y$ 轴负半轴相交。

（三）平移与方程

[知识点] 抛物线的平移

由 $y = ax^2$ 平移（口诀"左加右减，上加下减"）：

1、上下平移 $k$ 个单位：$y = ax^2 + k$；

2、左右平移 $h$ 个单位：$y = a(x \pm h)^2$。

[知识点] 抛物线与 x 轴的交点

令 $y = 0$，交点个数对应方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 根的情况：

1、两个交点 ⇔ 两个不相等的实数根；

2、一个交点 ⇔ 两个相等的实数根；

3、无交点 ⇔ 无实数根。

[知识点] 二次函数与一元二次方程

方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解（根），就是抛物线 $y = ax2 + bx + c$ 与 $x$ 轴交点的横坐标。

六、求解析式

[知识点] 待定系数法

1、设出函数解析式；

2、根据已知条件列出关于待定系数的方程（组）；

3、解出系数；

4、写出解析式。