输入关键词开始搜索

三角形公式定理

本文整理初中数学「三角形」板块的公式与定理，涵盖三角形基本性质、等腰与直角三角形、全等、相似、位似、平行线分线段成比例、勾股定理与锐角三角函数，供速查使用。

一、三角形的基本性质

[知识点] 三角形三边关系

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

[知识点] 三角形的内角与外角

1、三角形内角和等于 180∘180^\circ；

2、三角形外角等于与它不相邻的两个内角之和；

3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。

[知识点] 三角形的中位线

三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

[知识点] 角平分线的性质与判定

1、性质：角平分线上的点到角两边的距离相等；

2、判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

[知识点] 三角形的边角关系

大边对大角，小边对小角。

二、等腰与等边三角形

[知识点] 等腰三角形的性质

1、两腰相等，两底角相等（等边对等角）；

2、顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）。

[知识点] 等腰三角形的判定

有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）。

[知识点] 等边三角形的性质

1、三条边相等，三个角都等于 60∘60^\circ；

2、等边三角形是轴对称图形，有 3 条对称轴。

[知识点] 等边三角形的判定

1、三边都相等的三角形是等边三角形；

2、三个角都相等（都等于 60∘60^\circ）的三角形是等边三角形；

3、有一个角是 60∘60^\circ 的等腰三角形是等边三角形。

三、直角三角形

[知识点] 直角三角形的性质

1、直角三角形的两个锐角互余（∠A+A + ∠B=90B = 90°）；

2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；

3、30∘30^\circ 角所对的直角边等于斜边的一半。

[知识点] 直角三角形的判定

1、有一个角是 90∘90^\circ 的三角形是直角三角形；

2、勾股定理的逆定理：若 a2+b2=c2a2 + b2 = c^2，则三角形是直角三角形。

四、全等三角形

[知识点] 全等三角形的性质

全等三角形的对应边相等、对应角相等，对应高、对应中线、对应角平分线也相等。

[知识点] 全等三角形的判定

1、SSSSSS：三边分别相等的两个三角形全等；

2、SASSAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等；

3、ASAASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等；

4、AASAAS：两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等；

5、HLHL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。

五、相似三角形

[知识点] 相似多边形的性质

1、对应角相等，对应边成比例；

2、周长比等于相似比；

3、面积比等于相似比的平方。

[知识点] 相似三角形的判定

1、平行于三角形一边的直线截其他两边，所构成的三角形与原三角形相似；

2、三边成比例的两个三角形相似；

3、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；

4、两角分别相等的两个三角形相似。

[知识点] 相似三角形的性质

对应边的比等于相似比；对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。

[知识点] 平行线分线段成比例

1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；

2、平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

[知识点] 位似

1、位似图形是相似图形，对应边平行或共线；

2、对应点与位似中心共线，对应点到位似中心的距离之比等于相似比；

3、相似比 >1> 1 放大图形，相似比 <1< 1 缩小图形。

六、勾股定理

[知识点] 勾股定理

直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方：

a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2

变式：c=a2+b2c = \sqrt{a^2 + b^2}，a=c2−b2a = \sqrt{c^2 - b^2}，b=c2−a2b = \sqrt{c^2 - a^2}。

[知识点] 勾股数

满足 a2+b2=c2a^2 + b^2 = c^2 的三个正整数称为勾股数。

常见勾股数：3、4、5；6、8、10；5、12、13。

七、锐角三角函数

（一）三角函数的定义

[知识点] 正弦

sin⁡A=∠A 的对边斜边\sin A = \dfrac{\angle A \text{ 的对边}}{斜边}

[知识点] 余弦

cos⁡A=∠A 的邻边斜边\cos A = \dfrac{\angle A \text{ 的邻边}}{斜边}

[知识点] 正切

tan⁡A=∠A 的对边∠A 的邻边\tan A = \dfrac{\angle A \text{ 的对边}}{\angle A \text{ 的邻边}}

（二）特殊角的三角函数值

[知识点] 特殊角的三角函数值表

锐角 A

30∘30^\circ

45∘45^\circ

60∘60^\circ

sin⁡A\sin A

12\dfrac{1}{2}

22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

cos⁡A\cos A

32\dfrac{\sqrt{3}}{2}

22\dfrac{\sqrt{2}}{2}

12\dfrac{1}{2}

tan⁡A\tan A

33\dfrac{\sqrt{3}}{3}

1

3\sqrt{3}

（三）三角函数的性质

[知识点] 同角三角函数关系

sin⁡2A+cos⁡2A=1\sin^2 A + \cos^2 A = 1

[知识点] 互余两角的三角函数关系

1、sin⁡A=cos⁡(90\sin A = \cos(90° −A)- A)，cos⁡A=sin⁡(90\cos A = \sin(90° −A)- A)；

2、tan⁡A⋅tan⁡(90\tan A \cdot \tan(90° −A)=1- A) = 1。

八、解直角三角形的应用

[知识点] 仰角与俯角

1、仰角：视线在水平线上方时与水平线的夹角；

2、俯角：视线在水平线下方时与水平线的夹角。

[知识点] 坡度（坡比）

坡面的铅直高度 hh 与水平宽度 ll 的比叫做坡度，记作 ii：

i=h:l=hl=tan⁡αi = h : l = \dfrac{h}{l} = \tan \alpha（α\alpha 为坡角）