第5章 一元一次方程（七年级上册）

一、一元一次方程的概念

[知识点] 一元一次方程

• 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是 1，等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。

  • 一元：只有一个未知数；

  • 一次：未知数的次数是 1；

  • 方程：含有未知数，且等号两边都是整式。

[知识点] 方程的解

使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。

[知识点] 解方程

求方程的解的过程，叫做解方程。

二、等式的性质

[知识点] 等式的性质

• 性质 1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。

• 性质 2：等式两边乘同一个数，或除以同一个非 0 的数，结果仍相等。

[知识点] 等式的对称性

如果 $a = b$，那么 $b = a$。

[知识点] 等式的传递性

如果 $a = b，b = c，$那么 $a = c$。

三、解一元一次方程

[知识点] 解一元一次方程的步骤

• 解一元一次方程的一般步骤：

  1. 去分母：方程两边各项都乘各分母的最小公倍数；

  2. 去括号：根据去括号法则去掉括号；

  3. 移项：把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边（移项要变号）；

  4. 合并同类项：把方程化为 $ax = b$ 的形式；

  5. 系数化为 1：方程两边同除以 $a$，得 $x = \dfrac{b}{a}$。

四、一元一次方程的应用

[知识点] 列一元一次方程解应用题的步骤

1. 设：设未知数；

2. 找：找出题中的等量关系；

3. 列：根据等量关系列方程；

4. 解：解方程；

5. 验：检验所得结果是否符合题意；

6. 答：写出答案。

[知识点] 常见应用题类型

• 配套问题：各生产总量之间成倍数关系；

• 工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；通常把工作总量看作"1"；

• 商品销售问题：

  • 售价 = 进价 × (1 + 利润率)

  • 售价 = 标价 × 折扣

  • 利润 = 售价 - 进价

  • 利润 = 成本 × 利润率

• 比赛积分问题：胜场积分 + 负场积分 = 总积分。