第8章实数（七年级下册）

一、概念

[知识点] 实数

定义：有理数和无理数统称为实数。
有理数：可以写成分数形式 $\dfrac{p}{q}$ （ $p、q 为整数，q ≠ 0$ ）的数，包括整数和分数。
无理数：无限不循环小数叫做无理数。
- 例如： $\pi$ ，以及开方开不尽的数（如图）。
- 注意：有限小数和无限循环小数属于有理数；无限不循环小数属于无理数。

[知识点] 相反数

定义：实数 $a$ 的相反数是 $-a$ ，即只有符号不同的两个数互为相反数（ $a$ 与 $-a$ ）。
特殊：0 的相反数是 0；互为相反数的两个数和为 0。

[知识点] 倒数

定义：乘积为 1 的两个实数互为倒数。实数 $a（a ≠ 0）$ 的倒数是 $\dfrac{1}{a}$ 。

[知识点] 绝对值

定义：数轴上表示数 $a$ 的点与原点的距离叫做 $a$ 的绝对值，记作 $|a|$ 。
非负性： $|a| \ge 0$ ；
化简：
- 当 $a$ >0时， $|a|=0$ ；
- 当 $a$ =0时， $|a|=0$ ；
- 当 $a$ <0时， $|a|=-a$ 。

二、算术平方根

[知识点] 算术平方根

定义：一般地，如果一个正数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x^2 = a$ ，那么这个正数 $x$ 叫做 $a$ 的算术平方根（ $x > 0$ ）。
表示：记作 $\sqrt{a}$ ，读作"根号 $a$ "。

$a$ 叫做被开方数；规定：0 的算术平方根是 0。

性质 $（a ≥ 0）：\sqrt{a} ≥ 0；(\sqrt{a})^2 = a$ 。

三、平方根

[知识点] 平方根

定义：如果一个数 $x$ 的平方等于 $a$ ，即 $x^2 = a$ ，那么这个数 $x$ 叫做 $a$ 的平方根（也叫二次方根）。
表示：记作 $\pm\sqrt{a}$ ，读作"正负根号 $a$ "（ $a ≥ 0$ ）。

个数：
- 正数有两个平方根，它们互为相反数；
- 0 的平方根是 0；
- 负数没有平方根。
开平方：求一个数 $a$ 的平方根的运算叫做开平方。

四、立方根

[知识点] 立方根

定义：如果一个数 $x$ 的立方等于 $a$ ，即 $x^3 = a$ ，那么这个数 $x$ 叫做 $a$ 的立方根（也叫三次方根）。
表示：记作 $\sqrt[3]{a}$ ，读作"三次根号 $a$ "，其中 3 是根指数， $a$ 叫做被开方数。

性质：
- 正数的立方根是正数；
- 负数的立方根是负数；
- 0 的立方根是 0。
开立方：求一个数 $a$ 的立方根的运算叫做开立方。