第18章分式（八年级上册）

一、分式的概念

[知识点] 分式

一般地，如果 $A、B$ 表示两个整式，并且 $B$ 中含有字母，那么式子 $\dfrac{A}{B}$ 叫做分式（ $B \neq 0$ ）。

$A、B$ 为整式：分式的分子与分母都是整式；
$B$ 中含有字母：分母中含有字母（分母含字母）。

[知识点] 分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变：

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} \ (M \neq 0)，\quad \dfrac{A}{B} = \dfrac{A \div M}{B \div M} \ (M \neq 0)$

同时：分子与分母同时乘或除以；
相同：所乘（或除）的必须是同一个非 0 整式。

[知识点] 约分

根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分。

分子与分母约去公因式：约去分子、分母的公共因式，结果应化为最简分式。

[知识点] 最简分式

分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。

[知识点] 通分

把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。

异分母分式化成同分母分式：化为同分母后再进行运算。

[知识点] 最简公分母

通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为最简公分母。

二、分式的运算

[知识点] 分式的加减法

同分母分式相加减，分母不变，分子相加减：

$\dfrac{a}{c} \pm \dfrac{b}{c} = \dfrac{a \pm b}{c}；$

异分母分式相加减，先通分，化为同分母的分式，再按同分母法则计算。

[知识点] 分式的乘法

分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，结果要化为最简分式：

$\dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{c}{d} = \dfrac{ac}{bd}$

分子相乘：分子的积作积的分子；
分母相乘：分母的积作积的分母；
化简：结果化为最简分式。

[知识点] 分式的除法

分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘：

$\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \cdot \dfrac{d}{c}$

颠倒除式的分子、分母：把除式颠倒位置；
与被除式相乘：再与被除式相乘。

[知识点] 分式的乘方

分式的乘方，把分子、分母分别乘方：整数指数幂

$\left( \dfrac{a}{b} \right)^n = \dfrac{a^n}{b^n} \ (n 为正整数，b \neq 0)$

三、整数指数幂

[知识点] 负整数指数幂

任何不等于 0 的数的 $-n$ （ $n$ 为正整数）次幂，等于这个数 $n$ 次幂的倒数： $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \ (a \neq 0，n$ 为正整数)

互为倒数： $a^{-n} 与 a^n$ 互为倒数。

[知识点] 科学记数法（绝对值小于 1 的数）

对于一个绝对值小于 1 的正数，可以用科学记数法表示为 $a \times 10^{-n}$ 的形式，其中 $1 \leq a < 10$ ， $n$ 为正整数（指数部分为 $-n$ ）。

条件：小于 1 的正数；
表示： $a \times 10^{-n}$ （ $1 \leq a < 10$ ， $n$ 为正整数）。
eg. $0.0000257=2.57 \times 10^{-5}$

四、分式方程

[知识点] 分式方程

定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。

[知识点] 分式方程的解法

解分式方程的一般步骤：先去分母化为整式方程，再解整式方程，最后检验。

去分母：方程两边同乘最简公分母，把分式方程化为整式方程；
解整式方程：通过去括号、移项、合并同类项、系数化为 1 求出未知数的值；
检验：把求得的解代入最简公分母
- 若值 $\neq$ 0，则是原方程的解（有解）；
- 若值 $=$ 0，则是增根，原方程无解。

[知识点] 分式方程的应用

列分式方程解应用题的一般步骤可记为：设、找、列、解、验、答。

第18章 分式（八年级上册）