第16章 整式的乘法（八年级上册）

一、幂的运算

[知识点] 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加： $a^m \cdot a^n = a^{m+n}\ (m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m \div a^n = a^{m-n}\ (a \ne 0,\ m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 同底数幂的零次幂（特殊情形）

同底数幂运算的特殊情形（$a \neq 0$）：任何不等于 0 的数的 0 次幂都等于 1，即：$a^0 = 1 \ (a \neq 0)$

二、幂的乘方

[知识点] 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘： $(am)^n = a^{mn}\ (m,n \text{ 为正整数})$

三、积的乘方

[知识点] 积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：$(ab)^n = a^n b^n\ (n \text{ 为正整数})$

• 每个因式分别乘方：积的每一个因式都要乘方；

• 所得幂相乘：把各因式乘方后得到的幂相乘。

四、整式的乘法

[知识点] 单项式乘单项式

单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

• 系数相乘：两个单项式的系数相乘；

• 同底数幂相乘：同底数幂分别相乘；

• 乘单独的幂：只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式。

[知识点] 单项式乘多项式

单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加： $m(a+b+c) = ma+mb+mc$

• 乘多项式的每一项：用单项式去乘多项式的每一项；

• 所得积相加：把各次乘得的结果相加。

[知识点] 多项式乘多项式

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加：

$(a+b)(m+n) = am+an+bm+bn$

• 计算法则（每每相乘）：

  1. 用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项；

  2. 把乘得的所有积相加。

规律：

• 平方差公式：$(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$

• 完全平方公式：$(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$

• 和积公式：$(x+p)(x+q) = x^2 + (p+q)x + pq$

五、整式的除法

[知识点] 单项式除以单项式

单项式除以单项式，把系数与同底数幂分别相除，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

1. 系数相除：两个单项式的系数相除；

2. 同底数幂相除：同底数幂分别相除；

3. 乘单独的幂：只在被除式里含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。

[知识点] 多项式除以单项式

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加：

$(am+bm+cm) \div m = a+b+c$

1. 多项式的每一项 ÷ 单项式：用多项式的每一项分别除以单项式；

2. 所得商相加：把各次除得的结果相加。

六、添括号法则

[知识点] 添括号法则

添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号；

如果括号前面是负号，括到括号里的各项都要变号。

• 括号前是正号：括起来的各项不变号；

• 括号前是负号：括起来的各项变号。