第23章 一次函数（八年级下册）

一、概念

[知识点] 一次函数

• 定义：一般地，形如 $y = kx + b$（$k、b$为常数，$k ≠ 0$）的函数，叫做一次函数。

  • 比例系数：$k$叫做比例系数；

  • 常数项：$b$叫做常数项。

[知识点] 正比例函数

• 定义：一般地，形如 $y = kx$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数，叫做正比例函数。

• 与一次函数的关系：正比例函数是一次函数的特殊情形（当$b = 0$ 时，$y = kx + b$ 即为 $y = kx$）。

二、图象与性质

[知识点] 正比例函数的图象与性质

• 图象：正比例函数 $y=kx$的图像是一条经过原点$(0,0)$的直线。

• 性质：

  • 当 $k>0$时，直线经过第一、三象限，$y$随 $x$的增大而增大；

  • 当 $k<0$ 时，直线经过第二、四象限，$y$ 随 $x$的增大而减小。

[知识点] 一次函数的图像与性质

• 图象：一次函数 $y=kx+b（k\neq0）$的图象是一条直线。

• 性质：

  • 当 $k>0$ 时，直线从左向右上升，$y$随 $x$的增大而增大；

  • 当 $k<0$时，直线从左向右下降，$y$随 $x$的增大而减小。

• 与 y 轴的交点：令 $x=0$，得 $y=b$，即直线与 $y$轴交于点 $(0,b)$。

  • 当$b>0$ 时，交点在 $y$轴正半轴上；

  • 当 $b<0$ 时，交点在 $y$轴负半轴上。

三、求函数解析式

[知识点] 待定系数法

• 定义：先设出函数解析式，再根据已知条件求出解析式中未知系数，从而确定函数解析式的方法，叫做待定系数法。

• 步骤：

  • 设：设出函数解析式（一次函数设 $y = kx + b$，正比例函数设 $y = kx$）；

  • 列：把已知点的坐标（或对应值）代入解析式，列出关于未知系数的方程（组）；

  • 定：解方程（组），求出未知系数$k、b$ 的值，写出函数解析式。

四、一次函数与方程、不等式

[知识点] 用一次函数解一元一次方程

任何一个以 $x$ 为未知数的一元一次方程都可以化为 $ax+b=0（a\neq0）$的形式。从函数的角度看，求方程$ax+b=0$的解，就是求一次函数 $y=ax+b$ 的函数值为 0 时自变量$x$的值（即直线 $y=ax+b$ 与 $x$轴交点的横坐标）。

[知识点] 用一次函数解二元一次方程组

把二元一次方程组中的两个方程分别化为一次函数 $y = k_1x + b_1$与 $y = k_2x + b_2$ ，对应的两条直线的交点坐标，就是这个二元一次方程组$\begin{cases} y = k_1x + b_1\\ y = k_2x + b_2 \end{cases}$的解。

[知识点] 用一次函数解一元一次不等式

• 不等式 $ax+b>0（a\neq0）$的解集，就是一次函数$y=ax+b$ 的函数值大于 0 时自变量 $x$的取值范围（即直线在 $x$ 轴上方部分对应的 $x$ 值）；

• 不等式 $ax+b<0$ 的解集，就是一次函数 $y=ax+b$ 的函数值小于 0 时自变量 $x$的取值范围（即直线在 $x$轴下方部分对应的 $x$ 值）。