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第19章 二次根式（八年级下册）

一、概念

[知识点] 二次根式

  • 定义：一般地，形如 a (a≥0)\sqrt{a}\ (a \geq 0) 的式子叫做二次根式。

    • 二次根号：  \sqrt{\ \ } 是二次根号。

    • 被开方数：aa 叫做被开方数，且必须满足 a≥0a \geq 0（即二次根式有意义的条件是被开方数非负）。

[知识点] 二次根式的性质

二次根式具有以下基本性质：

  • 非负性：a≥0（a≥0）\sqrt{a} \ge 0（a \ge 0）（双重非负性）；

  • 算术平方根的平方：(a)2=a (a≥0)(\sqrt{a})^2 = a\ (a \geq 0)；

  • 平方的算术平方根：a2=∣a∣。\sqrt{a^2} = |a|。

[知识点] 最简二次根式

  • 定义：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式：

    • 被开方数中不含分母；

    • 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

二、乘除

[知识点] 二次根式的乘法

  • 计算法则：a⋅b=ab (a≥0, b≥0)\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a \geq 0,\ b \geq 0)，两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。

  • 化简：ab=a⋅b (a≥0, b≥0)\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)

[知识点] 二次根式的除法

  • 计算法则：ab=ab (a≥0, b>0)\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a \geq 0,\ b > 0)，两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变。

  • 化简：ab=ab (a≥0, b>0)\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a \ge 0,\ b > 0)

三、加减

[知识点] 二次根式的加减

二次根式相加减，一般按下列步骤进行：

  • 化简：先把各个二次根式化成最简二次根式；

  • 合并：再把被开方数相同的二次根式合并（只把系数相加减，根号部分保持不变）。

四、混合运算

[知识点] 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算顺序与有理数相同：

  • 有括号：先算括号里面的；

  • 无括号：先乘方，再乘除，最后加减。

  • 运算律：二次根式的混合运算适用有理数的交换律、结合律和分配律。

[知识点] 乘法公式在二次根式中的应用

二次根式的乘法同样适用平方差公式与完全平方公式：

  • 平方差公式：(a+b)(a−b)=a−b(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b

  • 完全平方公式：(a±b)2=a+b±2ab(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2 = a+b\pm2\sqrt{ab}