第11章不等式与不等式组（七年级下册）

一、概念

[知识点] 不等式

定义：用不等号（>、<、≥、≤、≠）连接的式子，叫做不等式。
常见不等号：＞、＜、≠。

[知识点] 不等式的解

定义：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
说明：一个不等式往往有多个解。

[知识点] 不等式的解集

定义：一个不等式的所有解组成的集合，叫做这个不等式的解集。
表示：常用不等号与数轴来表示，如 >、≥、<、≤ 等（在数轴上表示不等式的解集时，要注意方向与空心、实心）。
- $x > a$ ：在 $a$ 处画空心圆圈，折线向右；
- $x ≥ a$ ：在 $a$ 处画实心圆点，折线向右；
- $x < a$ ：在 $a$ 处画空心圆圈，折线向左；
- $x ≤ a$ ：在 $a$ 画实心圆点，折线向左。

[知识点] 解不等式

定义：求不等式（组）解集的过程，叫做解不等式。

二、不等式的性质

[知识点] 不等式的基本性质（方向不变）

性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向也不变。
- 即（加、减）： $a > b ⇒ a ± c > b ± c$ 。
- 即（乘、除以正数）： $c > 0 时，a > b ⇒ ac > bc，\dfrac{a}{c} > \dfrac{b}{c}$ 。

[知识点] 不等式的基本性质（方向改变）

性质：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（即不等号要反向）。
- 即： $c < 0 时，a > b ⇒ ac < bc，\dfrac{a}{c} < \dfrac{b}{c}$ 。

[知识点] 不等式的对称性

性质：如果 $a > b$ ，那么 $b < a$ （不等号方向互换）。
- 即： $a > b ⇔ b < a$ 。

[知识点] 不等式的传递性

性质：如果 $a > b$ 且 $b > c$ ，那么 $a > c$ 。
- 即： $a > b > c ⇒ a > c$ 。

三、一元一次不等式

[知识点] 一元一次不等式

定义：含有一个未知数，并且未知数的次数是 1 的不等式，叫做一元一次不等式。
- 一元：只含一个未知数。
- 一次：未知数的次数是 1。

[知识点] 一元一次不等式的解法

定义：解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程类似，但要特别注意：当不等号两边乘（或除以）同一个负数时，不等号方向必须改变。
步骤：
- 去分母：两边同乘各分母的最小公倍数（注意所乘数的正负，乘负数时不等号方向要改变）。
- 去括号：按去括号法则展开。
- 移项：把不等式一边的某项变号后移到另一边。
- 合并同类项：化为 $ax > b$ （或 <、≥、≤ 等）的形式。
- 系数化为 1：两边同除以 $a$ ；当 $a < 0$ 时，不等号方向改变。

四、一元一次不等式组

[知识点] 一元一次不等式组

定义：把几个含有相同未知数的一元一次不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组。

[知识点] 一元一次不等式组的解集

定义：组成一元一次不等式组的各个不等式的解集的公共部分，叫做这个不等式组的解集。

[知识点] 一元一次不等式组的解法

方法：先分别求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出这些解集的公共部分。
确定公共部分的口诀：
- 同大取大：两个不等式都是“大于”，取较大的那个。
- 同小取小：两个不等式都是“小于”，取较小的那个。
- 大小小大中间找：一个“大于小的”、一个“小于大的”，解集在两者之间。
- 大大小小无处找：一个“大于大的”、一个“小于小的”，不等式组无解。

五、实际问题

[知识点] 用一元一次不等式（组）解决实际问题

方法：列一元一次不等式（组）解实际问题，与列方程类似，先审题找出不等关系，设未知数，列不等式（组），求解后检验、作答。
步骤（审、设、列、解、验、答）：
- 审：审题，找出题目中的不等关系。
- 设：设出未知数。
- 列：根据题意列出不等式（组）。
- 解：解不等式（组）。
- 验：检验解是否符合题意（注意实际意义，如人数、个数为非负整数等）。
- 答：写出完整的解答。