第24章数据的分析（八年级下册）

一、集中趋势

[知识点] 平均数

定义：平均数是一组数据的和除以这组数据的个数所得的商，反映一组数据的平均水平。
记作：一般地， $n$ 个数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的平均数记作 $\bar{x}$ ，其中 n 表示数据的个数， $x_n$ 表示各个数据。
算术平均数： $n$ 个数据 $x_1,x_2,\ldots,x_n$ 的算术平均数为 $\bar{x}=\dfrac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots+x_n)$ 。
加权平均数：若 $n$ 个数据中， $x_1$ 出现 $w_1$ 次， $x_2$ 出现 $w_2$ 次，……， $x_k$ 出现 $w_k$ 次 $（w_1+w_2+\cdots+w_k=n）$ ，则加权平均数 $\bar{x}=\dfrac{x_1w_1+x_2w_2+\cdots+x_kw_k}{n}$ ，其中 $w_n$ 表示各数据的权重。
特点：平均数反映一组数据的平均水平，但它易受极端值的影响。

[知识点] 中位数

定义：将一组数据按从小到大（或由大到小）的顺序排列，处于最中间位置的数叫做这组数据的中位数。
求法：
- 当数据个数为奇数时，中位数就是排序后位于正中间位置的那个数；
- 当数据个数为偶数时，中位数是排序后位于最中间的两个数的平均数（中间两个数之和 ÷2）。
特点：中位数具有较好的代表性，且不受极端值的影响。

[知识点] 众数

定义：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。
特点：众数反映一组数据的集中趋势。

二、离散程度

[知识点] 离差（偏差）

定义：一组数据中各个数据与平均数之差叫做离差（也叫偏差），即 $x_i-\bar{x}$ 。

[知识点] 离差平方和

定义：一组数据的各个离差的平方之和叫做离差平方和，记作 $d^2$ 。

[知识点] 方差

定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量。
记作：方差通常记作 $s^2$ 。
计算公式： $s^2=\dfrac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\cdots+(x_n-\bar{x})^2]$ 。
特点：方差反映数据的波动程度。
- 方差越大，数据的波动越大；
- 方差越小，数据的波动越小。

三、大致分布

[知识点] 四分位数

定义：把一组按大小顺序排列的数据分成四等份的三个分点上的数，叫做四分位数，分别是下四分位数 Q1、中位数 Q2、上四分位数 Q3。
各部分：
- Q1（下四分位数）：位于数据约 25% 位置的数；
- Q2（中位数）：位于数据 50% 位置的数，即中位数；
- Q3（上四分位数）：位于数据约 75% 位置的数。

[知识点] 箱线图

定义：箱线图（又称盒须图）是用一组数据的五个要素（最小值、Q1、中位数、Q3、最大值）以及四分位距来直观展示数据分布情况的统计图。
四分位距：四分位距 = Q3 – Q1，反映中间 50% 数据的离散程度。
特点：箱线图能直观地展示数据的分布、中心位置和离散程度。

四、数据的分组

[知识点] 数据的分组

定义：把一组数据按某一分界点分成"好"和"差"两组，关键在于选择合适的分界点。
分组原则：
- 组内差异小：同一组内的数据尽量接近；
- 组间差异大：不同组之间的数据差异尽量明显。
操作步骤：
1. 排序：把数据按从小到大排列；
2. 找间隔： $n$ 个数据有 $n-1$ 个可能的分界点；
3. 逐个计算：以每个分界点为界将数据切成左右两组，分别计算第一组、第二组的离差平方和 $d_1^2$ 、 $d_2^2$ ，再相加得到组内离差平方和 $d_1^2+d_2^2$ （即组内数据的离散程度）。
4. 比较选优：比较各分界点对应的组内离差平方和，值越小说明数据越集中，对应的分界点越优。