第20章 勾股定理（八年级下册）

一、概念

[知识点] 勾股定理

• 内容：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

• 公式：若直角三角形的两条直角边长分别为 $a、b$，斜边长为$c$，则 $a^2+b^2=c^2$。

[知识点] 勾股定理的图示

勾股定理中直角三角形三边的关系可用图形直观表示。

[知识点] 勾股数

• 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，即满足 $a^2+b^2=c^2$的正整数 $a、b、c$，叫做勾股数。

• 常见例子：

  • 3、4、5

  • 6、8、10

  • 5、12、13

二、定理的证明

[知识点] 赵爽弦图

赵爽弦图利用四个全等的直角三角形拼成一个边长为$c$的大正方形，通过面积关系证明勾股定理（详见图示）。

[知识点] 毕达哥拉斯拼图

毕达哥拉斯拼图利用图形的拼接与面积守恒证明勾股定理（详见图示）。

三、勾股定理的逆定理

[知识点] 勾股定理的逆定理

• 内容：如果三角形的三边长 $a、b、c$满足 $a^2+b^2=c^2$，那么这个三角形是直角三角形（$c$为斜边）。

[知识点] 勾股定理逆定理的应用

用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否为直角三角形，一般按下列步骤进行：

• 确定最长边：找出三角形中最长的一边，作为可能的斜边；

• 计算：分别求出最长边的平方与另两边的平方和；

• 比较：若最长边的平方等于另两边的平方和，则该三角形是直角三角形。

四、应用

[知识点] 勾股定理的应用

• 条件：问题须与直角三角形有关。

• 常见类型：

• 已知直角三角形的两边，利用 $a^2+b^2=c^2$ 求第三边；

  • $c = \sqrt{a^2+b^2}$

  • $a = \sqrt{c^2-b^2}$

  • $b = \sqrt{c^2-a^2}$

• 也可用勾股定理在数轴上表示无理数（如长度为 $\sqrt{2}、\sqrt{3}$等的线段）。