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第10章 二元一次方程组（七年级下册）
一、概念
[知识点] 二元一次方程组
定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程；把两个（或多个）一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。
二元：含有两个未知数。
一次：含有未知数的项的次数都是 1。
方程组：由两个（或多个）一次方程组成。
[知识点] 二元一次方程的解
定义：使二元一次方程两边的值相等的一组未知数的值，叫做二元一次方程的解。
个数：一般情况下，一个二元一次方程有无数个解。
[知识点] 二元一次方程组的解
定义：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
个数：当方程组有唯一解时，是一组未知数的值。
[知识点] 消元
定义：将含有多个未知数的方程组“由多化少、逐一解决”，即把未知数的个数减少，先求出一个未知数，再求另一个未知数，这种化归思想叫做消元；代入消元法和加减消元法都是消元思想的具体方法。
由多化少：把二元转化为一元，再求解。
逐一解决：先求出一个未知数的值，再回代求另一个未知数的值。
二、解二元一次方程组
[知识点] 代入消元法
定义：将方程组中一个方程变形，用含一个未知数的式子表示另一个未知数，再代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个新的一元方程，进而求出方程组的解，这种方法叫做代入消元法（简称代入法）。
步骤（变、代、解、回、联）：
变：将其中一个方程变形，用含一个未知数的代数式表示另一个未知数。
代：把变形后得到的式子代入另一个方程，得到一个新的一元一次方程。
解：解这个新方程，求出一个未知数的值。
回：将求出的解回代到原方程中，求出另一个未知数的值。
联：将两个未知数的值联立，用“{”写成方程组的解的形式：
[知识点] 加减消元法
定义：当两个方程中同一个未知数的系数绝对值相等（或可通过变形化为相等）时，将两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个新的一元方程，进而求出方程组的解，这种方法叫做加减消元法（简称加减法）。
步骤（化、加减、解、回、联）：
化：把两个方程中同一未知数的系数化为绝对值相等。
加减：同一未知数系数相同时，将两方程两边相减；系数互为相反数时，将两方程两边相加，从而消去该未知数。
解：解这个新方程，求出一个未知数的值。
回：将求出的解回代到原方程中，求出另一个未知数的值。
联：将两个未知数的值联立，用“{”写成方程组的解的形式。
三、三元一次方程组
[知识点] 三元一次方程组
定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程组成的方程组，叫做三元一次方程组（一般是由三个一次方程组成）。
三元：含有三个未知数。
一次：含有未知数的项的次数都是 1。
[知识点] 三元一次方程组的解
定义：三元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个三元一次方程组的解。
个数：当方程组有唯一解时，是一组三个未知数的值。
[知识点] 三元一次方程组的解法
定义：解三元一次方程组的基本思路是“消元”：通过代入消元法或加减消元法，先把三元化为二元，再把二元化为一元，逐层求解。
思路：三元 → 二元 → 一元。
方法：代入消元法、加减消元法。
四、实际问题
[知识点] 用二元一次方程组解决实际问题
定义：列二元一次方程组解实际问题，就是先设出两个未知数，根据题中的等量关系列出方程组，解出后再检验、作答。
一般步骤（审、设、列、解、验、答）：
审：审题，找出题目中的等量关系。
设：设出两个未知数。
列：列出方程组（方程个数 = 未知数个数）。
解：解方程组。
验：检验所得的解是否为方程组的解，且是否符合题意。
答：写出完整的解答。
常见类型：
行程问题：基本关系为 路程 = 速度 × 时间；顺水速度 = 静水速度 + 水流速度，逆水速度 = 静水速度 − 水流速度。
配套问题：生产的总量之间成正比例关系。
工程问题：工作效率 × 工作时间 = 工作总量；通常把工作总量看作“1”。
商品销售：标价 = 进价 × (1 + 利润率)，实际售价 = 标价 × 打折率，利润 = 售价 − 成本（进价），利润 = 成本 × 利润率。