解直角三角形

一、解直角三角形的概念

（一）定义

[知识点] 解直角三角形

定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素（至少有一条边）求其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

基本元素：3 条边、2 个锐角。

二、锐角三角函数

（一）正弦

[知识点] 正弦

定义：在直角三角形中，锐角 $A$的对边与斜边的比叫做 $∠A$的正弦，记作 $\sin A$。

即 $\sin A = \dfrac{\angle A 的对边}{斜边} = \dfrac{a}{c}$

（二）余弦

[知识点] 余弦

定义：在直角三角形中，锐角 $A$ 的邻边与斜边的比叫做 $∠A$的余弦，记作 $\cos A$。

即$\cos A = \dfrac{\angle A 的邻边}{斜边} = \dfrac{b}{c}$

（三）正切

[知识点] 正切

定义：在直角三角形中，锐角$A$的对边与邻边的比叫做 $∠A$的正切，记作 $\tan A$。

即$\tan A = \dfrac{\angle A 的对边}{邻边} = \dfrac{a}{b}$

三、特殊角的三角函数值

（一）特殊角三角函数值表

[知识点] 特殊角的三角函数值

四、勾股定理与勾股数

（一）勾股定理

[知识点] 勾股定理

定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方，即 $a^2 + b^2 = c^2$。

变式：

• $c = \sqrt{a^2+b^2}$

• $a = \sqrt{c^2-b^2}$

• $b = \sqrt{c^2-a^2}$

（二）勾股数

[知识点] 勾股数

定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数 $a、b、c$（满足 $a^2+b^2=c^2$），叫做勾股数。

常见例子：

• 3、4、5；

• 6、8、10；

• 5、12、13。

五、解直角三角形的方法

（一）利用三边关系

[知识点] 用勾股定理解直角三角形

已知两边，可用勾股定理求第三边。

• $c = \sqrt{a^2+b^2}$

• $a = \sqrt{c^2-b^2}$

• $b = \sqrt{c^2-a^2}$

（二）利用两锐角关系

[知识点] 用两锐角互余解直角三角形

直角三角形的两个锐角互余，即 $∠A + ∠B = 90°$。 因此：

• $∠A = 90° - ∠B$；

• $∠B = 90° - ∠A$。

（三）利用边角关系

[知识点] 用三角函数解直角三角形

常用边角关系：

• $\sin A = \cos B = \dfrac{a}{c}$

• $\cos A = \sin B = \dfrac{b}{c}$

• $\tan A = \dfrac{1}{\tan B} = \dfrac{a}{b}$

[知识点] 同角三角函数关系

基本关系：$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$

六、解直角三角形的应用

（一）常见术语

[知识点] 仰角与俯角

• 仰角：视线在水平线上方时，视线与水平线的夹角；

• 俯角：视线在水平线下方时，视线与水平线的夹角。

[知识点] 方向角

从正北或正南方向到目标方向所形成的小于 90° 的角叫做方向角。

[知识点] 坡度（坡比）

定义：坡面的铅直高度$h$ 和水平宽度 $l$的比叫做坡度（坡比），记作$i$。

表示：$i = h:l = \dfrac{h}{l} = \tan \alpha（\alpha 为坡角）$