概率

一、事件

（一）确定性事件

[知识点] 必然事件

定义：在一定条件下，必然会发生的事件称为必然事件。

[知识点] 不可能事件

定义：在一定条件下，必然不会发生的事件称为不可能事件。

（二）随机事件

[知识点] 随机事件

定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件。

二、概率

（一）概率的定义与表示

[知识点] 概率

定义：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

表示：事件 A 发生的概率记为 P(A)。

（二）概率的大小范围

[知识点] 概率的取值范围

• 必然事件的概率：P(A) = 1

• 不可能事件的概率：P(A) = 0

• 随机事件的概率：0 < P(A) < 1

（三）频率与概率

[知识点] 频率

定义：在多次重复试验中，事件 A 发生的次数与总试验次数的比值称为事件 A 发生的频率。

计算公式：

$\text{频率} = \dfrac{\text{频数}}{\text{总数}}$

关系：当试验次数很多时，事件发生的频率会稳定在某个常数附近，这个常数就可以作为该事件发生概率的估计值，即：

概率≈频率的稳定值

三、概率的计算

（一）计算方法

[知识点] 直接列举法

适用条件：所有可能结果数目较少，且各种结果发生的可能性相等。

要求：按一定顺序列举，做到不重不漏。

[知识点] 列表法

适用条件：涉及两次操作（如两次摸球、掷两枚骰子等）。

步骤：

1. 画表格；

2. 列出所有可能结果。

[知识点] 树状图法

适用条件：操作次数较多（通常 大于等于3 次），或步骤较多的试验。

[!tip] 使用树状图时，要逐层画出每一步的所有可能结果，并标注第几步。

（二）概率公式

[知识点] 概率计算公式

前提：在一次试验中，所有可能出现的结果有 $n$种，且各种结果发生的可能性相等；事件 $A$包含其中的$m$种结果。

计算公式：

$P(A) = \dfrac{m}{n}$

其中：

• $n$表示全部可能结果总数；

• $m$表示事件 $A$包含的可能结果数。