反比例函数

本文整理反比例函数的概念、表示形式、图象（双曲线）与性质，以及比例系数的几何意义。

一、概念

（一）定义

[知识点] 反比例函数

定义：一般地，形如 $y = \dfrac{k}{x}$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数，叫做反比例函数。

（二）表示形式

[知识点] 反比例函数的表示形式

• 解析式：$y = \dfrac{k}{x}（k ≠ 0）$；

• 乘积形式：$xy = k（k ≠ 0）$；

• 指数形式：$y = kx^{-1}（k ≠ 0）$。

（三）图象

[知识点] 反比例函数的图象

反比例函数的图象是双曲线。

[!note] 双曲线的两个分支关于坐标原点中心对称，且与坐标轴不相交。

二、性质

（一）图象位置

[知识点] 反比例函数图象的位置

• 当 k ＞ 0 时，图象位于第一、三象限；

  

• 当 k ＜ 0 时，图象位于第二、四象限。

  

（二）增减性

[知识点] 反比例函数的增减性

• 当 k ＞ 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；

• 当 k ＜ 0 时，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大。

[!warning] 反比例函数的增减性必须强调"在每一个象限内"，不能笼统地说"y 随 x 增大而减小"。

（三）几何意义

[知识点] 比例系数的几何意义

过双曲线上任意一点作$x$ 轴、$y$轴的垂线，所得矩形$PNOM$的面积等于$|k|$；所得$△EOF$的面积等于 $\dfrac{|k|}{2}$。