一次函数

本文整理正比例函数与一次函数的概念、图象与性质，以及它们与一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式的关系。

一、概念

（一）正比例函数

[知识点] 正比例函数

定义：一般地，形如 $y = kx$（$k$为常数，$k ≠ 0$）的函数，叫做正比例函数。

图象：正比例函数的图象是一条经过原点的直线。

（二）一次函数

[知识点] 一次函数

定义：一般地，形如 $y = kx + b$（$k、b$为常数，$k ≠ 0$）的函数，叫做一次函数。其中 $k$叫做比例系数。

图象：一次函数的图象是一条直线。

[!note] 当 $b = 0$时，$y = kx + b$ 即 $y = kx$，正比例函数是一次函数的特殊情形。

二、性质

（一）增减性

[知识点] 一次函数的增减性

• 当 k ＞ 0 时，y 随 x 的增大而增大；

• 当 k ＜ 0 时，y 随 x 的增大而减小。

（二）图象位置

[知识点] 正比例函数图象的位置

• 当 k ＞ 0 时，图象经过第一、三象限；

• 当 k ＜ 0 时，图象经过第二、四象限。

[知识点] 一次函数图象与 y 轴的交点

• 当 b ＞ 0 时，图象与 y 轴交于正半轴；

• 当 b ＜ 0 时，图象与 y 轴交于负半轴；

• 当 b = 0 时，图象经过原点。

[知识点] 图象的平移

正比例函数 $y = kx$向上（或向下）平移$|b|$个单位，得到 $y = kx + b$（$b ＞ 0$向上平移，$b ＜ 0$ 向下平移）。

三、与方程、不等式的关系

（一）与一元一次方程

[知识点] 一次函数与一元一次方程

方程 $kx + b = 0$ 的解，就是函数 $y = kx + b$的图象与$x$轴交点的横坐标。

（二）与二元一次方程组

[知识点] 一次函数与二元一次方程组

二元一次方程组的解，就是两个一次函数图象的交点的坐标。

直线 $y = k_1x + b_1$与 $y = k_2x + b_2$ 的交点坐标，就是方程组$\begin{cases} y = k_1x + b_1\\ y = k_2x + b_2 \end{cases}$ 的解。

（三）与一元一次不等式

[知识点] 一次函数与一元一次不等式

不等式$kx + b ＞ 0$（或 $kx + b ＜ 0$）的解集，就是函数 $y = kx + b$的值大于 0（或小于 0）时对应的$x$ 的取值范围。