与圆有关的计算

一、弧长与扇形面积

（一）弧长公式

[知识点] 弧长公式

在半径为 $R$的圆中，圆心角为 $n°$ 的弧长$l$为

$l = \dfrac{n\pi R}{180}$

（二）扇形面积公式

[知识点] 扇形面积公式

在半径为 $R$ 的圆中，圆心角为 $n°$的扇形面积$S$为

$S = \dfrac{n\pi R^2}{360}$

也可以写成

$S = \dfrac{1}{2}lR$

其中 $l$为扇形的弧长，$R$为扇形所在圆的半径。

（三）阴影部分面积

[知识点] 规则图形的阴影面积

阴影部分若是规则图形（如扇形、三角形、弓形等），可直接利用相应公式计算。

[知识点] 不规则图形的阴影面积

阴影部分若是不规则图形，常用方法有：

• 割补法：把不规则图形割补成规则图形再计算；

• 等积变形法：利用面积相等的图形进行转化计算。

二、正多边形与圆

（一）正多边形的中心角

[知识点] 正多边形的中心角

半径为$R$ 的圆的内接正 $n$边形的中心角为

$\dfrac{360^\circ}{n}$

（二）正多边形的边心距

[知识点] 正多边形的边心距

设正$n$边形的边长为$a_n$，外接圆半径为 $R$，边心距为 $r$，则

$r = \sqrt{R^2 - \left(\dfrac{a_n}{2}\right)^2}$

（三）正多边形的周长

[知识点] 正多边形的周长

设正 $n$边形的边长为$a_n$，周长为 $l$，则

$l = n a_n$

（四）正多边形的面积

[知识点] 正多边形的面积

设正 $n$边形的周长为$l$，边心距为$r$，面积为$S$，则

$S = \dfrac{1}{2}lr = \dfrac{1}{2}n a r$

三、圆柱的表面积

（一）圆柱的侧面积

[知识点] 圆柱的侧面积

设圆柱底面半径为 $r$，母线长（高）为 $l$，则圆柱的侧面积 $S$为

$S_侧 = 2\pi r l$

（二）圆柱的全面积

[知识点] 圆柱的全面积

圆柱的全面积等于侧面积加上两个底面积，即

$S = S_侧+S_底=2\pi r l + 2\pi r^2$

四、圆锥的表面积

（一）圆锥的侧面积

[知识点] 圆锥的侧面积

设圆锥底面半径为 $r$，母线长为$l$，则圆锥的侧面积 $S$ 为

$S_{\text{侧}}=\dfrac{1}{2}\times 2\pi r\cdot l=\pi rl$

（二）圆锥的全面积

[知识点] 圆锥的全面积

圆锥的全面积等于侧面积加上一个底面积，即

$S = S_侧+S_底=\pi r l + 2\pi r^2$