图形的平移、对称与旋转

一、轴对称

（一）轴对称图形与成轴对称

[知识点] 轴对称图形

定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。

[知识点] 成轴对称

定义：如果把两个图形沿一条直线折叠，这两个图形能够互相重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称。

（二）轴对称的性质

[知识点] 轴对称的性质

• 成轴对称的两个图形全等；

• 对应点（对称点）的连线被对称轴垂直平分。

（三）轴对称的作图

[知识点] 画对称轴

1. 找：找出一对对应点；

2. 连：连接这对对应点；

3. 画：画出这条线段的垂直平分线，即为对称轴。

[知识点] 画对称图形

1. 找：找出原图形的关键点；

2. 画：分别画出这些关键点关于对称轴的对称点；

3. 连：依次连接各对称点，得到对称图形。

（四）轴对称的应用

[知识点] 最短路径问题

利用轴对称与平移对问题进行了转化，再依据"两点之间，线段最短"求解。

二、平移

（一）平移的定义

[知识点] 平移

定义：在同一平面内，把一个图形整体沿某一直线方向移动，叫做平移变换，简称平移。

（二）平移的性质

[知识点] 平移的性质

• 平移前、后的图形形状和大小不变（全等）；

• 对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等。

三、旋转

（一）旋转的三要素

[知识点] 旋转的三要素

• 旋转中心：图形绕着旋转的点；

• 旋转方向：顺时针或逆时针；

• 旋转角：对应点与旋转中心连线的夹角。

（二）旋转的性质

[知识点] 旋转的性质

• 旋转前、后的图形全等；

• 对应点到旋转中心的距离相等；

• 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。

（三）中心对称与中心对称图形

[知识点] 中心对称

定义：把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这个点成中心对称。

性质：

• 中心对称的两个图形全等；

• 对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分。

[知识点] 中心对称图形

定义：如果一个图形绕着某一点旋转 180° 后能与自身重合，那么这个图形叫做中心对称图形。

性质：对称点所连线段被对称中心平分。

（四）旋转的作图

[知识点] 旋转的作图

1. 定：确定旋转中心、旋转方向和旋转角（三要素）；

2. 找：找出图形的关键点；

3. 连：连接关键点与旋转中心；

4. 旋：将各关键线段绕旋转中心按指定方向和角度旋转；

5. 连：连接旋转后的对应点，得到旋转图形。

四、与坐标系

（一）对称点的坐标

[知识点] 对称点坐标

• 关于 $x$ 轴对称：点$(x, y)$的对称点为 $(x, -y)$；

• 关于 $y$轴对称：点 $(x, y)$ 的对称点为$(-x, y)$；

• 关于原点对称：点 $(x, y)$的对称点为 $(-x, -y)$。

（二）平移后的坐标

[知识点] 平移后的坐标

$a＞0$

• 向右平移 $a$个单位$(x, y) → (x + a, y)$；

• 向左平移 $a$个单位$(x, y) → (x - a, y)$；

• 向上平移 $a$个单位$(x, y) → (x, y + a)$；

• 向下平移 $a$个单位$(x, y) → (x, y - a)$。