实数

本文整理实数的概念与性质、大小比较方法以及科学记数法。

一、概念与性质

（一）实数

[知识点] 有理数

整数和分数统称为有理数。

• 整数：正整数、0、负整数；

• 分数：有限小数和无限循环小数。

[知识点] 无理数

无限不循环小数叫做无理数。

• 常见例子：$\pi、\sqrt{2}、\sqrt{3}、\sqrt{5}$等。

（二）数轴

[知识点] 数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。

• 实数与数轴上的点一一对应；

• 数轴上右边的点表示的数总比左边的大。

（三）相反数

[知识点] 相反数

只有符号不同的两个数互为相反数（如$a$与$-a$）。

• 表示：$a$的相反数是$-a$；

• 性质：互为相反数的两个数和为0；在数轴上到原点的距离相等；

• 特殊：0的相反数是0。

（四）绝对值

[知识点] 绝对值

数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做$a$的绝对值，记作$|a|$。

• 非负性：$|a| \ge 0$；

• 化简：

  • 当$a$>0时，$|a|=0$；

  • 当$a$=0时，$|a|=0$；

  • 当$a$<0时，$|a|=-a$。

（五）倒数

[知识点] 倒数

乘积是1的两个数互为倒数（$a \ne 0$时，$a$的倒数是$\dfrac{1}{a}$）。

• 性质：互为倒数的两个数乘积为1；

• 特殊：0没有倒数；$\pm 1$的倒数是它本身。

二、大小比较

[知识点] 实数大小比较

（一）类别比较

• 正数> 0 >负数；

• 两个正数，绝对值大的数大；

• 两个负数，绝对值大的数反而小。

（二）数轴比较

在数轴上，右边的数总比左边的数大。

（三）差值比较

• 若$a-b$>0，则$a>b$；

• 若$a-b$=0，则$a=b$；

• 若$a-b$<0，则$a<b$。

（四）求商比较

• 若$\dfrac{a}{b}>1$，则$a>b$（$b>0$）

• 若$\dfrac{a}{b}=1$，则$a=b$（$b>0$）

• 若$\dfrac{a}{b}<1$，则$a<b$（$b>0$）

（五）平方比较

两个非负数比较大小，可以比较它们平方的大小：

• 若$(\sqrt{a})^2 > (\sqrt{b})^2（a \ge 0，b \ge 0）$，则$\sqrt{a}>\sqrt{b}$。

三、科学记数法

[知识点] 科学计数法

（一）表示

把一个数写成$a \times 10^n或a \times 10^{-n}$的形式（其中$1 \le a < 10，n$为正整数），这种记数方法叫做科学记数法。

• 绝对值大于10的数：$a \times 10^n$。

• 绝对值小于1的数：$a \times 10^{-n}$。

（二）方法

• 点小数点：把小数点点在第一个非0数字的右下角；

• 确定指数：$n$等于小数点移动的位数。

（三）举例

$567,000,000 = 5.67 \times 10^8$

$0.000,025,7 = 2.57 \times 10^{-5}$

[!note] 科学记数法中$1 \le a < 10，n$为正整数；从左边起第一个非0数字开始确定$a$。