数据的分析

一、平均数

（一）平均数的意义

[知识点] 平均数

定义：平均数是一组数据的平均值，表示这组数据的集中趋势。

记作： $\bar{x}$

（二）算术平均数

[知识点] 算术平均数

定义：对于 $n$ 个数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ ，它们的算术平均数为所有数据之和除以数据的个数。

计算公式：

$\bar{x} = \dfrac{1}{n}(x_1 + x_2 + \cdots + x_n)$

或

$\bar{x} = \dfrac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}$

其中：

$x_1 + x_2 + \cdots + x_n$ 表示所有数据之和；
$n$ 表示数据的个数。

（三）加权平均数

[知识点] 加权平均数（一般形式）

定义：若 $n$ 个数据 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 的权分别是 $w_1, w_2, \cdots, w_n$ ，则这组数据的加权平均数为：

$\bar{x} = \dfrac{x_1w_1 + x_2w_2 + \cdots + x_nw_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}$

其中：

$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 表示数据；
$w_1, w_2, \cdots, w_n$ 表示对应数据的权，权反映数据的重要程度。

[知识点] 加权平均数（频数形式）

定义：若数据 $x_1, x_2, \cdots, x_k$ 出现的次数（频数）分别为 $f_1, f_2, \cdots, f_k，且 f_1 + f_2 + \cdots + f_k = n$ ，则加权平均数为：

$\bar{x} = \dfrac{x_1f_1 + x_2f_2 + \cdots + x_kf_k}{n}$

其中：

$x_i$ 表示第 $i$ 个数据；
$f_i$ 表示 $x_i$ 出现的个数（频数）；
$n$ 表示数据的总个数。

[!tip] 当各数据的权相同时，加权平均数就是算术平均数。

二、众数

[知识点] 众数

定义：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。

特点：众数反映一组数据的集中趋势；一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。

三、中位数

[知识点] 中位数

定义：将一组数据按从小到大（或从大到小）的顺序排列后，居于中间位置的数称为这组数据的中位数。

求法：

当数据个数为奇数时，中位数就是中间位置的那个数；
当数据个数为偶数时，中位数是中间两个数之和除以 2。

特点：中位数不受极端值影响，具有比较好的代表性。

四、方差

[知识点] 方差

定义：方差是衡量一组数据波动大小的数。

记作： $s^2$

计算公式：

$s^2 = \dfrac{1}{n}[(x_1 - \bar{x})2 + (x_2 - \bar{x})2 + \cdots + (x_n - \bar{x})^2]$

其中：

$\bar{x}$ 是这组数据的平均数；
$n$ 是数据的个数；
$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是各数据。

特点：

方差大，说明数据波动大；
方差小，说明数据波动小。

五、四分位数

[知识点] 四分位数

定义：把一组按大小顺序排列的数据分成四等份的三个分点上的数，叫做四分位数，分别是下四分位数 Q1、中位数 Q2、上四分位数 Q3。
各部分：
- Q1（下四分位数）：位于数据约 25% 位置的数；
- Q2（中位数）：位于数据 50% 位置的数，即中位数；
- Q3（上四分位数）：位于数据约 75% 位置的数。

[知识点] 箱线图

定义：箱线图（又称盒须图）是用一组数据的五个要素（最小值、Q1、中位数、Q3、最大值）以及四分位距来直观展示数据分布情况的统计图。
四分位距：四分位距 = Q3 – Q1，反映中间 50% 数据的离散程度。
特点：箱线图能直观地展示数据的分布、中心位置和离散程度。

六、数据的分组

[知识点] 数据的分组

定义：把一组数据按某一分界点分成"好"和"差"两组，关键在于选择合适的分界点。
分组原则：
- 组内差异小：同一组内的数据尽量接近；
- 组间差异大：不同组之间的数据差异尽量明显。
操作步骤：
1. 排序：把数据按从小到大排列；
2. 找间隔： $n$ 个数据有 $n-1$ 个可能的分界点；
3. 逐个计算：以每个分界点为界将数据切成左右两组，分别计算第一组、第二组的离差平方和 $d_1^2$ 、 $d_2^2$ ，再相加得到组内离差平方和 $d_1^2+d_2^2$ （即组内数据的离散程度）。
4. 比较选优：比较各分界点对应的组内离差平方和，值越小说明数据越集中，对应的分界点越优。