一元二次方程

本文整理一元二次方程的概念、解法（配方法、公式法、因式分解法）以及根与系数的关系。

一、概念

（一）定义

[知识点] 一元二次方程

定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程。

[知识点] 一元二次方程的一般式

一元二次方程的一般形式为：

$ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）$

其中：

• $ax²$是二次项，$a$是二次项系数；

• $bx$是一次项，$b$是一次项系数；

• $c$是常数项。

[知识点] 一元二次方程的根

定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的根（或解）。

二、根与系数的关系

（一）根的判别式

[知识点] 根的判别式

一元二次方程 $ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）$的根的判别式通常用 Δ 表示：

$Δ = b² - 4ac$

根据判别式 Δ 的取值，可以判断一元二次方程根的情况：

• 当 Δ > 0 时，方程有两个不相等的实数根；

• 当 Δ = 0 时，方程有两个相等的实数根；

• 当 Δ < 0 时，方程没有实数根。

（二）根与系数的关系

[知识点] 韦达定理

若一元二次方程 $ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）$的两个根是$x₁、x₂$，则根与系数的关系为：

$x₁ + x₂ = -\dfrac{b}{a}$

$x₁ · x₂ = \dfrac{c}{a}$

二、解法

（一）配方法

[知识点] 配方法解一元二次方程

定义：通过配方，把一元二次方程变形为$（x + n）² = p$ 的形式，从而求解的方法叫做配方法。

主要步骤：

1. 二次项系数化为 1；

2. 移项：把常数项移到方程右边；

3. 配方：方程两边同加一次项系数一半的平方；

4. 变形：把左边写成完全平方式$（x + n）² = p$ 的形式；

5. 根据 p 的取值判断解的情况并求解。

[知识点] 配方法解的情况

根据变形后$（x + n）² = p$中 $p$ 的取值：$x=-n±\sqrt{p}$

• 当$p > 0$时，方程有两个不相等的实数根；

• 当 $p = 0$时，方程有两个相等的实数根；

• 当 $p <0$ 时，方程没有实数根。

（二）公式法

[知识点] 求根公式

对于一元二次方程 $ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）$，当 $b² - 4ac ≥ 0$ 时，它的根可以用求根公式表示为：

$x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a}$

这个公式叫做一元二次方程的求根公式。

（三）因式分解法

[知识点] 因式分解法解一元二次方程

定义：把一元二次方程的一边化为 0，另一边分解为两个一次因式的乘积，化成$(x + a)(x + b)= 0$ 的形式，再令每个因式分别等于 0，从而求出方程的根。

[知识点] 因式分解法的根

若一元二次方程可化为$(x + a)(x + b)= 0$，则方程的两个根为：

$x₁ = -a，x₂ = -b$