平面直角坐标系及函数基础

本文整理平面直角坐标系的构成、点坐标特征与几何意义，以及函数的基本概念、图象、表示方法与自变量取值范围。

一、平面直角坐标系

（一）定义与构成

[知识点] 平面直角坐标系

定义：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。

• 水平的数轴叫做 x 轴（横轴），向右为正方向；

• 竖直的数轴叫做 y 轴（纵轴），向上为正方向；

• 两数轴的交点叫做原点。

（二）点坐标

[知识点] 各象限内点的坐标特征

平面被坐标轴分成四个象限，各象限内点的坐标符号如下：

• 第一象限：$（+，+）$

• 第二象限：$（-，+）$

• 第三象限：$（-，-）$

• 第四象限：$（+，-）$

[!note] 坐标轴上的点不属于任何象限。

[知识点] 坐标轴上点的坐标特征

• $x$轴上的点：纵坐标为 0，即$（x，0）$；

• $y$轴上的点：横坐标为 0，即$（0，y）$；

• 原点：$（0，0）$。

（三）几何意义

[知识点] 点到坐标轴的距离

• 点到 $x$ 轴的距离 = 纵坐标的绝对值$|y|$；

• 点到 $y$轴的距离 = 横坐标的绝对值 $|x|$。

二、函数

（一）定义与元素

[知识点] 函数

定义：在一个变化过程中，有两个变量 $x$ 和 $y$，对于 $x$的每一个确定的值，$y$都有唯一确定的值与其对应，那么就说 $y$是 $x$的函数，$x$ 叫做自变量。

[知识点] 函数值

当$x = a$ 时，$y = b$，则 $b$叫做当 $x = a$时的函数值。

（二）函数图象

[知识点] 函数图象

定义：对于一个函数，把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，在坐标平面内描出相应的点，这些点组成的图形叫做函数的图象。

画法：列表 → 描点 → 用平滑的线连接各点。

（三）表示方法

[知识点] 列表法

用表格列出自变量与函数的对应值，能直接看出数值对应关系。

[知识点] 图象法

用图象表示两个变量之间的关系，能直观体现变化趋势。

[知识点] 解析式法

用关于自变量的数学式子表示函数关系，能准确反映自变量与函数之间的对应关系。

（四）自变量取值范围

[知识点] 整式型函数$（y = kx + b）$，自变量取一切实数。

[知识点] 分式型函数$（y = \dfrac{A}{B}）$，自变量取值必须使分母不为 0$（B ≠ 0）$。

[知识点] 偶次根式型函数$（y = \sqrt{a}）$，自变量取值必须使被开方数 大于等于 0$（a ≥ 0）$。

[知识点] 零次幂与负整数指数幂型，自变量取值必须使底数不为 0。