方程的应用

本文整理用方程（组）解决实际问题的一般步骤与常见类型。

一、一般步骤

[知识点] 用方程解应用题的一般步骤

用方程（组）解决实际问题的一般步骤为：

1. 审：审清题意，找出已知量、未知量及等量关系；

2. 设：设未知数（可以直接设，也可以间接设）；

3. 找：找出题目中的等量关系；

4. 列：根据等量关系列出方程（组）；

5. 解：解方程（组）；

6. 验：检验所得解是否符合实际意义；

7. 答：写出答案。

二、常见类型

（一）商品销售问题

[知识点] 商品销售问题常用关系

商品销售问题中常用的等量关系：

• 标价 = 进价 × (1 + 利润率)

• 实际售价 = 标价 × 折扣

• 利润 = 售价 - 进价

• 利润 = 成本 × 利润率

（二）工程问题

[知识点] 工程问题基本关系

工程问题的基本关系：

工作效率 × 工作时间 = 工作总量

当工作总量未给定时，常把工作总量看作 1。

（三）配套问题

[知识点] 配套问题

配套问题中，生产的各部件总量之间成倍数关系，常根据这种倍数关系列方程。

（四）行程问题

[知识点] 行程问题基本关系

行程问题的基本关系：

• 路程 = 速度 × 时间

• 顺水速度 = 静水速度 + 水流速度

• 逆水速度 = 静水速度 - 水流速度

（五）变化率问题

[知识点] 增长率与降低率

变化率问题中常用的等量关系：

• 增长：$a(1 + x)² = b$

  • $a$：增长前的量

  • $x$：增长率

  • $b$：增长后的量

• 降低：$a(1 - x)² = b$

  • $a$：降低前的量

  • $x$：降低率

  • $b$：降低后的量

（六）单循环与握手问题

[知识点] 单循环比赛与握手问题

$n$个人进行单循环比赛：$n(n - 1)$

$n$个人互相握手一次，总场次（总握手次数）为：$\dfrac{n(n - 1)}{2}$

（七）面积问题

[知识点] 面积问题

面积问题的常见情形：

• 已知图形的周长，求满足条件的面积；

• 在矩形内修路：常通过平移构造新的矩形，把分散的图形合并成规则图形后计算。