实数的运算

本文整理实数四则运算、乘方、开方以及混合运算的法则和运算律。

一、四则运算

（一）加法

[知识点] 有理数加法法则

• 同号两数相加：取相同的符号，并把绝对值相加；

• 异号两数相加：取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；

• 互为相反数相加：结果得0。

（二）减法

[知识点] 有理数减法法则

减去一个数，等于加上这个数的相反数：

$a-b = a+(-b)$

（三）乘法

[知识点] 有理数乘法法则

• 两个数相乘：同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；

• 多个数相乘：

  • 有偶数个负数时，积为正；

  • 有奇数个负数时，积为负；

• 有因数0：积得0；

• 互为倒数：乘积是1。

（四）除法

[知识点] 有理数除法法则

• 除以一个数等于乘这个数的倒数（$b \ne 0$）：

• $a \div b = a \cdot \dfrac{1}{b}\ (b \ne 0)$

• 0除以非0数：得0。

二、乘方

（一）定义

[知识点] 乘方

求相同因数的积的运算叫做乘方。

（二）表示

$a^n$中，$a$叫做底数，$n$叫做指数，结果叫做幂。

（三）结果

• 正数：任何次幂都是正数；

• 负数：奇次幂是负数，偶次幂是正数；

• 特殊（$n$为正整数）：

当$n$为正整数时，$0^n = 0$。

$a^0 = 1（a \ne 0）$。

三、开方

（一）算术平方根

[知识点] 算术平方根

若一个非负数$x$的平方等于$a$，即$x^2 = a$且$x \ge 0$，则$x$叫做$a$的算术平方根，记作$x = \sqrt{a}$。

• 表示：$a$的算术平方根记作$\sqrt{a}$($a$：被开方数；读作"根号$a$")。

• 规定：$\sqrt{0} = 0$。

• 性质：$\sqrt{a} \ge 0（a \ge 0）$。

（二）平方根

[知识点] 平方根

若$x^2 = a$，则$x$叫做$a$的平方根。

• 表示：$a$的平方根记作$\pm\sqrt{a}（a \ge 0）$。

• 个数：

  • 正数有两个平方根（互为相反数）；

  • 0的平方根是0；

  • 负数没有平方根。

• 开平方：求一个数的平方根的运算。

（三）立方根

[知识点] 立方根

若$x^3 = a$，则$x$叫做$a$的立方根。

• 表示：$a$的立方根记作$\sqrt[3]{a}$，3是根指数，读作"三次根号$a$"。

• 性质：

  • 正数的立方根是正数；

  • 负数的立方根是负数；

  • 0的立方根是0。

• 开立方：求一个数的立方根的运算。

四、混合运算

（一）运算顺序

• 有括号：先算括号内的；

• 无括号：先乘方、开方，再乘除，最后加减。

（二）运算律

• 加法：

  • 交换律：$a + b = b + a$；

  • 结合律：$(a + b) + c = a + (b + c)$。

• 乘法：

  • 交换律：$ab = ba$；

  • 结合律：$(ab)c = a(bc)$；

  • 分配律：$a(b + c) = ab + ac$。