二次函数

本文整理二次函数的概念、三种表示形式、图象与性质、平移规律，以及二次函数与一元二次方程的关系。

一、概念

（一）定义与图象

[知识点] 二次函数

定义：一般地，形如 $y = ax² + bx + c（a、b、c 为常数，a ≠ 0）$的函数，叫做二次函数。

$a$：二次项系数；$b$：一次项系数；$c$：常数项。

图象：二次函数的图象是一条抛物线。

（二）三种表示形式

[知识点] 一般式

$y = ax² + bx + c（a ≠ 0）$

[知识点] 顶点式

$y = a(x - h)² + k（a ≠ 0）$，顶点坐标为$（h，k）$。

[知识点] 交点式

$y = a(x - x₁)(x - x₂)（a ≠ 0）$，其中 $x₁、x₂$是抛物线与 $x$轴交点的横坐标。

[!warning] 交点式仅当抛物线与$x$轴有交点时适用。

二、性质

（一）开口方向

[知识点] 开口方向与大小

• 当$a ＞ 0$时，开口向上，函数有最小值；

  

• 当 $a ＜ 0$时，开口向下，函数有最大值；

  

• $|a|$越大，抛物线的开口越小。

（二）增减性

[知识点] 二次函数的增减性

• 当 $a ＞ 0$时：对称轴左侧 y 随 x 的增大而减小，对称轴右侧 y 随 x 的增大而增大；

• 当 $a ＜ 0$时：对称轴左侧 y 随 x 的增大而增大，对称轴右侧 y 随 x 的增大而减小。

（三）对称轴与顶点

[知识点] 一般式的对称轴与顶点

对于$y = ax² + bx + c$：

• 对称轴：直线 $x = -\dfrac{b}{2a}$

• 顶点坐标：$\left(-\dfrac{b}{2a},\ \dfrac{4ac - b^2}{4a}\right)$

[知识点] 顶点式的对称轴与顶点

对于$y = a(x - h)² + k$：

• 对称轴：直线 $x = h$

• 顶点坐标：$（h，k）$

（四）与 y 轴的交点

[知识点] 二次函数与 y 轴的交点

对于$y = ax² + bx + c$：

• 当 $c = 0$ 时，图象经过原点；

• 当 $c ＞ 0$时，图象与$y$轴正半轴相交；

• 当$c ＜ 0$时，图象与 $y$轴负半轴相交。

三、平移

（一）由 $y = ax²$平移

[知识点] 抛物线的平移

$（h ＞ 0 ，k > 0 ）$

• 向上平移 $k$ 个单位：$y = ax² → y = ax² + k$；

• 向下平移 $k$ 个单位：$y = ax² → y = ax² - k$；

• 向左平移 $h$个单位：$y = ax² → y = a(x + h)²$；

• 向右平移 $h$个单位：$y = ax² → y = a(x - h)²$。

[!note] 平移规律可记为"左加右减，上加下减"。

四、二次函数与方程

（一）与 $x$轴的交点

[知识点] 抛物线与$x$ 轴的交点

对于 $y = ax² + bx + c$，令 $y = 0$：

• 有两个交点 ⇔ 方程有两个不相等的实数根；

• 有一个交点 ⇔ 方程有两个相等的实数根；

• 无交点 ⇔ 方程无实数根。

（二）与一元二次方程的关系

[知识点] 二次函数与一元二次方程

方程 $ax² + bx + c = 0（a ≠ 0）$的解（根），就是抛物线 $y = ax² + bx + c 与 x$轴交点的横坐标。