几何图形基础

一、概念（命题与定理）

（一）命题

[知识点] 命题

定义：判断一件事情的语句叫做命题。

组成：

题设：已知事项；
结论：由已知事项推出的事项。

分类：

真命题：正确的命题；
假命题：错误的命题。

[知识点] 定理

定义：经过推理证实为正确的真命题叫做定理，可以作为继续推理的依据。

[知识点] 互逆命题

定义：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题（其中一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题）。

说明：原命题成立时，其逆命题不一定成立（题设与结论正好相反）。

[知识点] 反证法

步骤：

假设命题的结论不成立；
从假设出发，经过推理得出矛盾；
由矛盾判定所作假设不正确，从而得到原命题成立。

二、基本元素

（一）线

[知识点] 直线

表示：用"直线 $AB$ "或"直线 $l$ "表示。

基本事实（公理）：经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。

[知识点] 射线

表示：用"射线 $OA$ "或"射线 $l$ "表示（端点写在前面）。

[知识点] 线段

表示：用"线段 $AB$ "表示。

基本事实（公理）：两点之间，线段最短。（两点之间的距离）

中点与等分：

线段的中点把线段二等分；
线段也可以进行三等分、四等分...。

（二）角

[知识点] 角的表示与单位

表示：用 $∠AOB、∠O、∠1$ 等形式表示。

单位：度、分、秒； $1° = 60′，1′ = 60″$ 。

[知识点] 互余与互补

互余：

定义：两个角的和等于 90°，这两个角互为余角；
性质：同角（或等角）的余角相等。

互补：

定义：两个角的和等于 180°，这两个角互为补角；
性质：同角（或等角）的补角相等。

[知识点] 角平分线

定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线。

性质：

二等分角；

角平分线上的点到角两边的距离相等。

三、相交线

（一）两线四角

[知识点] 对顶角

特征：两个角有公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线。

性质：对顶角相等。

[知识点] 邻补角

特征：两个角有公共顶点和一条公共边，另一边互为反向延长线。

（二）三线八角

[知识点] 同位角

特征：形如"F"型（在被截直线的同侧、截线的同旁）。

[知识点] 内错角

特征：形如"Z"型（在被截两条直线之间、截线的两侧）。

[知识点] 同旁内角

特征：形如"U"型（在被截两条直线之间、截线的同旁）。

（三）垂直

[知识点] 垂直

定义：两条直线相交成 90° 时，这两条直线互相垂直。

表示：用符号"⊥"表示，如直线 $a$ 垂直于直线 $b$ ，记作 $a ⊥ b$ 。

性质：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

[知识点] 垂直平分线

定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。

性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。

判定：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。

四、平行线

（一）定义、表示与公理

[知识点] 平行线

定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

表示：用符号"∥"表示，如直线 $a$ 平行于直线 $b$ ，记作 $a \parallel b$ 。

[知识点] 平行公理

内容：

在同一平面内经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
若 $b∥a,c \parallel a$ ，则 $b∥ c$

（二）平行线的性质与判定

[知识点] 平行线的性质

两直线平行，同位角相等；
两直线平行，内错角相等；
两直线平行，同旁内角互补。

补充：两条平行线之间的距离处处相等；两条平行线之间任意两条平行线段相等。

[知识点] 平行线的判定

同位角相等，两直线平行；
内错角相等，两直线平行；
同旁内角互补，两直线平行。