分式与二次根式

本文整理分式、二次根式的概念、性质和基本运算。

一、分式

（一）概念

[知识点] 分式

一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子$\dfrac{A}{B}$叫做分式。

• 有意义的条件：分母不等于0；

• 值为0的条件：分子为0且分母不为0。

[知识点] 分式的基本性质

分式的分子与分母同时乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。

$\dfrac{A}{B} = \dfrac{A \cdot M}{B \cdot M} \ (M \neq 0)，\quad \dfrac{A}{B} = \dfrac{A \div M}{B \div M} \ (M \neq 0)$

• 约分：把分子与分母的公因式约去，结果化为最简分式（分子与分母没有公因式）；

• 通分：把异分母分式化成同分母分式，最简公分母是各分母所有因式的最高次幂的积。

（二）运算

[知识点] 分式的加减

• 同分母分式：分母不变，分子相加减；

• 异分母分式：先通分，化为同分母分式，再加减。

[知识点] 分式的乘除

• 乘法：分子相乘作积的分子，分母相乘作积的分母；

• 除法：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

[知识点] 分式的乘方

分式的乘方，等于分子、分母分别乘方：

$\left(\dfrac{b}{a}\right)^n = \dfrac{b^n}{a^n}\ (a \ne 0,\ n \text{ 为正整数})$

[知识点] 负整数指数幂

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}\ (a \ne 0,\ n \text{ 为正整数})$

$a^{-n} \cdot a^n = 1\ (a \ne 0,\ n \text{ 为正整数})$

二、二次根式

（一）概念

[知识点] 二次根式

形如$\sqrt{a}（a \ge 0）$的式子叫做二次根式。

$\sqrt{\phantom{a}}$：二次根号； $a$：被开方数。

[知识点] 最简二次根式

满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：

• 被开方数中不含分母；

• 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。

[知识点] 同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。

（二）性质

• 非负性：$\sqrt{a} \ge 0（a \ge 0）$（双重非负性）。

• $(\sqrt{a})^2 = a\ (a \ge 0)$

• $\sqrt{a^2} = |a|$

• $\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)$

（三）运算

[知识点] 二次根式的乘法

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)$

$\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\ (a \ge 0,\ b \ge 0)$

[知识点] 二次根式的除法

$\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}\ (a \ge 0,\ b > 0)$

$\sqrt{\dfrac{a}{b}} = \dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\ (a \ge 0,\ b > 0)$

[知识点] 二次根式的加减

• 化简：先把每个二次根式化成最简二次根式；

• 合并：把被开方数相同的二次根式合并。

[知识点] 二次根式的混合运算

• 运算顺序：与实数相同；

• 运算律：与实数相同；

• 常用公式：

  • 平方差：$(\sqrt{a}+\sqrt{b})(\sqrt{a}-\sqrt{b}) = a-b$

  • 完全平方：$(\sqrt{a}\pm\sqrt{b})^2 = a+b\pm2\sqrt{ab}$