圆的性质及判定

一、圆的有关概念

（一）圆的定义与表示

[知识点] 圆的定义

定义：在平面内，线段绕一个固定端点旋转一周所形成的封闭曲线叫做圆。

[知识点] 圆的表示方法

以点 $O$ 为圆心的圆记作 $⊙O$ 。

[知识点] 等圆

能够重合的两个圆叫做等圆。等圆的半径相等。

（二）与圆有关的线段

[知识点] 弦

连接圆上任意两点的线段叫做弦。

[知识点] 直径

经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦。

（三）与圆有关的弧

[知识点] 弧的定义

圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

[知识点] 弧的表示方法

弧用符号 $⌒$ 表示。例如，以 $A、B$ 为端点的弧记作 $\overset{\frown}{AB}$ 。

[知识点] 等弧

在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

[知识点] 弧的分类

半圆：圆的直径把圆分成两条弧，每条弧都叫做半圆；
优弧：大于半圆的弧叫做优弧；
劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。

（四）与圆有关的角

[知识点] 圆心角

顶点在圆心的角叫做圆心角。

[知识点] 圆周角

顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。

（五）圆内接多边形

[知识点] 圆内接多边形

所有顶点都在同一个圆上的多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做多边形的外接圆。

二、圆的性质

（一）对称性

[知识点] 圆的对称性

圆是中心对称图形，对称中心是圆心；
圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴。

（二）垂径定理

[知识点] 垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

[!note] 这里的弦不能是直径（即被平分的弦不是直径）。

[知识点] 垂径定理的推论

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

（三）圆心角、弧、弦之间的关系

[知识点] 圆心角、弧、弦之间的关系

在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

[知识点] 圆心角、弧、弦关系的推论

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

（四）圆周角定理

[知识点] 圆周角定理

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。