函数的应用

本文整理用函数解决实际问题的一般方法，以及一次函数、反比例函数、二次函数在不同情境中的应用。

一、求解析式

（一）方法

[知识点] 待定系数法

先设出函数解析式，再根据已知条件列出关于待定系数的方程（组），解出系数后写出解析式。

（二）步骤

[知识点] 用待定系数法求解析式的步骤

1. 设：设出函数解析式；

2. 列：根据已知条件列出关于待定系数的方程（组）；

3. 解：解方程（组）求出待定系数；

4. 写：写出函数解析式。

二、一次函数的应用

（一）常见类型

[知识点] 一次函数应用常见类型

• 已知自变量的值，求对应的函数值（或最值）；

• 已知函数值，求对应的自变量的值；

• 利用一次函数的增减性确定实际情境中的最值。

三、反比例函数的应用

（一）常见类型

[知识点] 反比例函数应用常见类型

• 行程问题：路程一定时，速度与时间成反比例$（v = \dfrac{s}{t}）$；

• 工程问题：工作量一定时，工作效率与工作时间成反比例（$工作效率 = \dfrac{工作总量}{工作时间}$）；

• 等积问题：变形前后的体积（或质量）不变；

• 图形问题：借助周长、面积、体积公式建立函数关系。

四、二次函数的应用

（一）最值问题

[知识点] 二次函数最值问题的解法

1. 找：分析题意，找出等量关系；

2. 列：列出函数解析式；

3. 求：化为顶点式，求出最值（配方法）。

常见类型：

• 利润最值：利用"总利润 = 单件利润 × 销量"建立二次函数；

• 面积最值：利用几何图形的面积公式计算。

[知识点] 配方法

将一般式 $y = ax² + bx + c$ 化为顶点式 $y = a(x - h)² + k$的常用方法是配方法。

（二）抛物线型问题

[知识点] 抛物线型问题

桥梁、抛球、喷泉等实际形状可抽象为抛物线，通过建立二次函数模型求解高度、距离等。