整式与因式分解

本文整理代数式、整式、整式运算以及因式分解的基本概念和方法。

一、概念

（一）代数式

[知识点] 代数式

用基本运算符号（ $+、-、\times、\div、$ 乘方、开方）把数或表示数的字母连接起来的式子叫做代数式。

求值：
- 直接代入求值；
- 先化简再求值。

（二）整式

[知识点] 单项式

由数字或字母的积组成的式子叫做单项式。单独的一个数字或一个字母也是单项式。

系数：单项式中的数字因数；
次数：单项式中所有字母的指数之和；
注意：分母中含有字母的式子不是单项式。

[知识点] 多项式

几个单项式的和叫做多项式。

项：多项式中的每一个单项式；
常数项：不含字母的项；
次数：多项式中次数最高项的次数。

（三）同类项

[知识点] 同类项

所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。同类项与字母的顺序无关。

合并同类项：把同类项合并成一项，即系数相加，字母及其指数不变。

二、去括号与添括号

（一）去括号

括号前是正号：去括号后各项不变号；
括号前是负号：去括号后各项都变号；
括号外有数字：先用数字乘括号内各项，再去括号。

（二）添括号

括号前是正号：括起来的各项不变号；
括号前是负号：括起来的各项都变号。

三、幂的运算

（一）同底数幂

[知识点] 同底数幂的乘法

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

$a^m \cdot a^n = a^{m+n}\ (m,n \text{ 为正整数})$

[知识点] 同底数幂的除法

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

$a^m \div a^n = a^{m-n}\ (a \ne 0,\ m,n \text{ 为正整数})$

（二）幂的乘方

[知识点] 幂的乘方

幂的乘方，底数不变，指数相乘：

$(am)^n = a^{mn}\ (m,n \text{ 为正整数})$

（三）积的乘方

[知识点] 积的乘方

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：

$(ab)^n = a^n b^n\ (n \text{ 为正整数})$

四、整式的运算

（一）加、减

整式加减的一般步骤：

去括号：小括号 → 中括号 → 大括号；
合并同类项：系数相加，字母及其指数不变；
排列：可按某一字母的指数降幂排列或升幂排列。

（二）乘法

[知识点] 单项式乘单项式

系数相乘，同底数幂相乘，单独的字母连同指数作为积的一个因式。

[知识点] 单项式乘多项式

用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

[知识点] 多项式乘多项式

先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（简记：每每相乘，再相加）。

平方差公式： $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ ；
完全平方公式： $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$ 。

（三）除法

[知识点] 单项式除以单项式

系数相除，同底数幂相除，被除式中单独有的字母连同指数作为商的一个因式。

[知识点] 多项式除以单项式

多项式的每一项除以单项式，再把所得的商相加。

五、因式分解

（一）定义

[知识点] 因式分解

把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做因式分解。

（二）方法

[知识点] 提公因式法

找公因式：各项公有的因式；
提出公因式：把多项式写成"公因式 $\times$ (另一个因式)"的形式。

[知识点] 公式法

平方差公式： $a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$ ；
完全平方公式： $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$ 。

[知识点] 十字相乘法

竖分：左边相乘为二次项，右边相乘为常数项；
检验：交叉相乘后相加等于一次项；
横写：写成两个一次因式的积。